Solve the system of equations: $$\frac{1.5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3$$ $$\frac{2.5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0.5$$

Решение:

Данная система уравнений:

\(\begin{cases} \frac{1.5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3 \\ \frac{2.5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0.5 \end{cases}\)

Упростим первое уравнение:

\(\frac{1.5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3 \)

Умножим обе части на общий знаменатель (24):

\( 8(1.5x - 3) + 3(7 - 3y) = 3 \cdot 24 \)

\( 12x - 24 + 21 - 9y = 72 \)

\( 12x - 9y - 3 = 72 \)

\( 12x - 9y = 75 \)

Разделим на 3:

\( 4x - 3y = 25 \) (1)

Упростим второе уравнение:

\(\frac{2.5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0.5 \)

Умножим обе части на общий знаменатель (6):

\( 2(2.5x - 2) - (2y + 1) = 6(x - 0.5) \)

\( 5x - 4 - 2y - 1 = 6x - 3 \)

\( 5x - 2y - 5 = 6x - 3 \)

Перенесём переменные в одну сторону, константы — в другую:

\( 5x - 6x - 2y = -3 + 5 \)

\( -x - 2y = 2 \)

\( x + 2y = -2 \) (2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

\(\begin{cases} 4x - 3y = 25 \\ x + 2y = -2 \end{cases}\)

Выразим \( x \) из второго уравнения:

\( x = -2 - 2y \)

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( 4(-2 - 2y) - 3y = 25 \)

\( -8 - 8y - 3y = 25 \)

\( -11y = 25 + 8 \)

\( -11y = 33 \)

\( y = -3 \)

Теперь найдём \( x \), подставив \( y = -3 \) в выражение для \( x \):

\( x = -2 - 2(-3) \)

\( x = -2 + 6 \)

\( x = 4 \)

Проверка:

Первое уравнение: \( \frac{1.5(4) - 3}{3} + \frac{7 - 3(-3)}{8} = \frac{6 - 3}{3} + \frac{7 + 9}{8} = \frac{3}{3} + \frac{16}{8} = 1 + 2 = 3 \) (Верно)

Второе уравнение: \( \frac{2.5(4) - 2}{3} - \frac{2(-3) + 1}{6} = \frac{10 - 2}{3} - \frac{-6 + 1}{6} = \frac{8}{3} - \frac{-5}{6} = \frac{16}{6} + \frac{5}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \). Правая часть: \( x - 0.5 = 4 - 0.5 = 3.5 \) (Верно)

Ответ: x = 4, y = -3.