Solve the system of equations: \(\begin{cases} \frac{3}{4}x + y = -3 \\ 3x - \frac{1}{2}y = -5 \end{cases}\)

Решение:

Задана система линейных уравнений:

• \( \frac{3}{4}x + y = -3 \) (1)
• \( 3x - \frac{1}{2}y = -5 \) (2)

Умножим первое уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

• \( 3x + 4y = -12 \) (3)

Умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

• \( 6x - y = -10 \) (4)

Выразим \( y \) из уравнения (4):

• \( y = 6x + 10 \)

Подставим это выражение для \( y \) в уравнение (3):

• \( 3x + 4(6x + 10) = -12 \)
• \( 3x + 24x + 40 = -12 \)
• \( 27x = -12 - 40 \)
• \( 27x = -52 \)
• \( x = -\frac{52}{27} \)

Теперь подставим значение \( x \) в выражение для \( y \):

• \( y = 6 \left(-\frac{52}{27}\right) + 10 \)
• \( y = -\frac{312}{27} + 10 \)
• \( y = -\frac{104}{9} + \frac{90}{9} \)
• \( y = -\frac{14}{9} \)

Проверим подстановкой в исходные уравнения:

Уравнение (1): \( \frac{3}{4}\left(-\frac{52}{27}\right) + \left(-\frac{14}{9}\right) = -\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 27} - \frac{14}{9} = -\frac{156}{108} - \frac{14}{9} = -\frac{13}{9} - \frac{14}{9} = -\frac{27}{9} = -3 \) (Верно)

Уравнение (2): \( 3\left(-\frac{52}{27}\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{14}{9}\right) = -\frac{156}{27} + \frac{14}{18} = -\frac{52}{9} + \frac{7}{9} = -\frac{45}{9} = -5 \) (Верно)

Ответ: \( x = -\frac{52}{27}, y = -\frac{14}{9} \).