Solve the system of equations: \(\begin{cases} 5z - 7x = 3 \\ 3z - 5x = 2 \end{cases}\)

Решение:

Для решения системы уравнений методом подстановки или сложения, умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы коэффициенты при z стали одинаковыми:

\( 3 \cdot (5z - 7x) = 3 \cdot 3 \) → \( 15z - 21x = 9 \)

\( 5 \cdot (3z - 5x) = 5 \cdot 2 \) → \( 15z - 25x = 10 \)

Теперь вычтем из первого полученного уравнения второе:

\( (15z - 21x) - (15z - 25x) = 9 - 10 \)

\( 15z - 21x - 15z + 25x = -1 \)

\( 4x = -1 \)

\( x = -\frac{1}{4} \)

Подставим значение x в первое исходное уравнение:

\( 5z - 7\left(-\frac{1}{4}\right) = 3 \)

\( 5z + \frac{7}{4} = 3 \)

\( 5z = 3 - \frac{7}{4} \)

\( 5z = \frac{12}{4} - \frac{7}{4} \)

\( 5z = \frac{5}{4} \)

\( z = \frac{5}{4} : 5 \)

\( z = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5} \)

\( z = \frac{1}{4} \)

Проверим решение, подставив значения z и x во второе исходное уравнение:

\( 3\left(\frac{1}{4}\right) - 5\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \). Равенство верно.

Ответ: \( z = \frac{1}{4}, x = -\frac{1}{4} \).