Solve the system of equations: 3x + 2y - z = 12; x - y + 3z = 9; 2x + 3y - 2z = 7;

Решение:

Решим систему уравнений методом Гаусса.

Исходная система:

\[ \begin{cases} 3x + 2y - z = 12 \\ x - y + 3z = 9 \\ 2x + 3y - 2z = 7 \end{cases} \]

Перепишем уравнения в виде матрицы:

\[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 12 \\ 1 & -1 & 3 & | & 9 \\ 2 & 3 & -2 & | & 7 \end{pmatrix} \]

Поменяем местами первую и вторую строки:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & | & 9 \\ 3 & 2 & -1 & | & 12 \\ 2 & 3 & -2 & | & 7 \end{pmatrix} \]

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3 (R2 = R2 - 3*R1):

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & | & 9 \\ 0 & 5 & -10 & | & -15 \\ 2 & 3 & -2 & | & 7 \end{pmatrix} \]

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 2 (R3 = R3 - 2*R1):

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & | & 9 \\ 0 & 5 & -10 & | & -15 \\ 0 & 5 & -8 & | & -11 \end{pmatrix} \]

Разделим вторую строку на 5 (R2 = R2 / 5):

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & -2 & | & -3 \\ 0 & 5 & -8 & | & -11 \end{pmatrix} \]

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 5 (R3 = R3 - 5*R2):

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & -2 & | & -3 \\ 0 & 0 & 2 & | & 4 \end{pmatrix} \]

Разделим третью строку на 2 (R3 = R3 / 2):

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & -2 & | & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} \]

Теперь применим обратный ход: выразим переменные.

Из третьей строки: \( z = 2 \).

Из второй строки: \( y - 2z = -3 \) \( y - 2(2) = -3 \) \( y - 4 = -3 \) \( y = 1 \).

Из первой строки: \( x - y + 3z = 9 \) \( x - 1 + 3(2) = 9 \) \( x - 1 + 6 = 9 \) \( x + 5 = 9 \) \( x = 4 \).

Ответ: x = 4, y = 1, z = 2.