Solve the logarithmic inequality: \(\log_8(6-x) \ge \frac{1}{3}\)

Краткая запись:

• Неравенство: \(\log_8(6-x) \ge \frac{1}{3}\)

Пошаговое решение:

1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \(6-x > 0 \implies x < 6\).
2. Приведение к одному основанию: Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 8: \(\frac{1}{3} = \log_8(8^{\frac{1}{3}}) = \log_8(\sqrt[3]{8}) = \log_8(2)\).
3. Сравнение аргументов: Теперь неравенство выглядит так: \(\log_8(6-x) \ge \log_8(2)\). Так как основание логарифма \(8 > 1\), то функция логарифма возрастающая, и мы можем перейти к сравнению аргументов, сохраняя знак неравенства: \(6-x \ge 2\).
4. Решение линейного неравенства: \(6-x \ge 2 \implies -x \ge 2 - 6 \implies -x \ge -4 \). Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства: \(x \le 4\).
5. Пересечение с ОДЗ: У нас есть два условия: \(x < 6\) и \(x \le 4\). Область, удовлетворяющая обоим условиям, это \(x ≤ 4\).

Ответ: \(x ≤ 4\). В интервальной записи: \( (-\infty; 4] \).