Solve the irrational equation: \(\sqrt{x-6} = 8-x\)

Решение:

Для решения иррационального уравнения \(\sqrt{x-6} = 8-x\) необходимо учесть два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x-6 \ge 0 \), что означает \( x \ge 6 \).
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как корень квадратный всегда неотрицателен: \( 8-x \ge 0 \), что означает \( x \le 8 \).
3. Итак, мы ищем решения в промежутке \( [6, 8] \).
4. Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{x-6})^2 = (8-x)^2 \)

\( x-6 = 64 - 16x + x^2 \)

5. Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 16x - x + 64 + 6 = 0 \)

\( x^2 - 17x + 70 = 0 \)

6. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 70 = 289 - 280 = 9 \)

7. Найдем корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 3}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 3}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

8. Проверим найденные корни на соответствие условиям \( x \ge 6 \) и \( x \le 8 \).

Корень \( x_1 = 10 \) не удовлетворяет условию \( x \le 8 \), поэтому он является посторонним.

Корень \( x_2 = 7 \) удовлетворяет обоим условиям \( 7 \ge 6 \) и \( 7 \le 8 \).

9. Проверим корень \( x = 7 \) подстановкой в исходное уравнение:

\( \sqrt{7-6} = 8-7 \)

\( \sqrt{1} = 1 \)

\( 1 = 1 \)

Равенство верно.

Ответ: 7.