Solve the inequality: (x + 3)(x² - 3x + 9) < 54, x² - 9 > 0.

Решение:

• Первое неравенство: \( (x + 3)(x^2 - 3x + 9) < 54 \)
• Заметим, что \( x^2 - 3x + 9 \) является частью формулы суммы кубов: \( (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \).
• В нашем случае \( a=x \) и \( b=3 \), поэтому \( (x+3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27 \).
• Неравенство принимает вид: \( x^3 + 27 < 54 \)
• \( x^3 < 54 - 27 \)
• \( x^3 < 27 \)
• \( x < ∛{27} \)
• \( x < 3 \)
• Второе неравенство: \( x^2 - 9 > 0 \)
• \( x^2 > 9 \)
• \( x < -3 \) или \( x > 3 \)
• Объединение решений: Необходимо найти пересечение интервала \( (-∞, 3) \) и объединения интервалов \( (-∞, -3) ∪ (3, +∞) \).
• Пересечением \( (-∞, 3) \) и \( (-∞, -3) \) является \( (-∞, -3) \).
• Пересечением \( (-∞, 3) \) и \( (3, +∞) \) является пустое множество.
• Таким образом, общее решение: \( x < -3 \).

Ответ: ⁢\( (-∞, -3) ⁣ \)