Solve the inequality: \(\sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4}\)

Решение:

Для решения иррационального неравенства \(\sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4}\) рассмотрим два случая:

1. Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна.
   \(-x - \frac{1}{4} < 0\)
   \(-x < \frac{1}{4}\)
   \(x > -\frac{1}{4}\)
   В этом случае неравенство будет выполняться при условии, что подкоренное выражение неотрицательно: \(2x^2 - 7x - 4 \ge 0\).
   Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - 7x - 4 = 0\):
   \[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{7 \pm 9}{4} \]
   \[ x_1 = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5 \]
   \[ x_2 = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]
   Таким образом, \(2x^2 - 7x - 4 \ge 0\) при \(x \le -0.5\) или \(x \ge 4\).
   Объединяя условия \(x > -0.25\) и (\(x \le -0.5\) или \(x \ge 4\)), получаем \(x \ge 4\).
2. Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна.
   \(-x - \frac{1}{4} \ge 0\)
   \(-x \ge \frac{1}{4}\)
   \(x \le -\frac{1}{4}\)
   В этом случае мы можем возвести обе части неравенства в квадрат:
   \[ (\sqrt{2x^2 - 7x - 4})^2 \ge (-x - \frac{1}{4})^2 \]
   \[ 2x^2 - 7x - 4 \ge x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \]
   Перенесем все члены в левую часть:
   \[ 2x^2 - x^2 - 7x - \frac{1}{2}x - 4 - \frac{1}{16} \ge 0 \]
   \[ x^2 - \frac{15}{2}x - \frac{65}{16} \ge 0 \]
   Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - \frac{15}{2}x - \frac{65}{16} = 0\). Умножим на 16 для удобства:
   \[ 16x^2 - 120x - 65 = 0 \]
   \[ x = \frac{-(-120) \pm \sqrt{(-120)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-65)}}{2 \cdot 16} = \frac{120 \pm \sqrt{14400 + 4160}}{32} = \frac{120 \pm \sqrt{18560}}{32} \]
   \[ \sqrt{18560} = \sqrt{256 \cdot 72.5} \] (вычисления могут быть сложными, воспользуемся калькулятором или приближенным значением).
   Упростим
   \[ x = \frac{120 \pm \sqrt{16 \cdot 1160}}{32} = \frac{120 \pm 4\sqrt{1160}}{32} = \frac{30 \pm \sqrt{1160}}{8} \]
   \[ \sqrt{1160} = \sqrt{4 \cdot 290} = 2\sqrt{290} \]
   \[ x = \frac{30 \pm 2\sqrt{290}}{8} = \frac{15 \pm \sqrt{290}}{4} \]
   Приблизительно: \(\sqrt{290} \approx 17.03\)
   \[ x_1 \approx \frac{15 - 17.03}{4} \approx -0.5075 \]
   \[ x_2 \approx \frac{15 + 17.03}{4} \approx 8.5075 \]
   Таким образом, \(x^2 - \frac{15}{2}x - \frac{65}{16} \ge 0\) при \(x \le \frac{15 - \sqrt{290}}{4}\) или \(x \ge \frac{15 + \sqrt{290}}{4}\).
   Объединяем условия \(x \le -0.25\) и (\(x \le \frac{15 - \sqrt{290}}{4}\) или \(x \ge \frac{15 + \sqrt{290}}{4}\)).
   Поскольку \(-0.5075 < -0.25\) и \(8.5075 > -0.25\), получаем: \(x \le \frac{15 - \sqrt{290}}{4}\) или \(x \ge \frac{15 + \sqrt{290}}{4}\).

Объединим решения обоих случаев:

Из Случая 1: \(x \ge 4\).

Из Случая 2: \(x \le \frac{15 - \sqrt{290}}{4}\) или \(x \ge \frac{15 + \sqrt{290}}{4}\).

Так как \(4 \approx \frac{16}{4}\) и \(\frac{15 + \sqrt{290}}{4} \approx 8.5075\), то \(x \ge 4\) является частью \(x \ge \frac{15 + \sqrt{290}}{4}\).

Следовательно, объединение решений:

\(x \le \frac{15 - \sqrt{290}}{4}\) или \(x \ge 4\).

Ответ: \(x \in (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}] \cup [4; +\infty)\).