Solve the inequality: (3x + 5)(5 - 3x) >= 0

Решение:

Для решения неравенства \( (3x + 5)(5 - 3x) \geq 0 \), найдём корни соответствующего уравнения \( (3x + 5)(5 - 3x) = 0 \).

1. Первый множитель: \( 3x + 5 = 0 \) → \( 3x = -5 \) → \( x = -\frac{5}{3} \).
2. Второй множитель: \( 5 - 3x = 0 \) → \( 3x = 5 \) → \( x = \frac{5}{3} \).

Получили корни \( x = -\frac{5}{3} \) и \( x = \frac{5}{3} \). Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала:

• \( (-\infty, -\frac{5}{3}] \)
• \( [-\frac{5}{3}, \frac{5}{3}] \)
• \( [\frac{5}{3}, +\infty) \)

Определим знак выражения \( (3x + 5)(5 - 3x) \) на каждом интервале:

• Возьмём \( x = -2 \) (из первого интервала): \( (3(-2) + 5)(5 - 3(-2)) = (-6 + 5)(5 + 6) = (-1)(11) = -11 < 0 \).
• Возьмём \( x = 0 \) (из второго интервала): \( (3(0) + 5)(5 - 3(0)) = (5)(5) = 25 > 0 \).
• Возьмём \( x = 2 \) (из третьего интервала): \( (3(2) + 5)(5 - 3(2)) = (6 + 5)(5 - 6) = (11)(-1) = -11 < 0 \).

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. Это условие выполняется на втором интервале, включая границы.

Таким образом, решением неравенства является интервал \( [-\frac{5}{3}, \frac{5}{3}] \).

Ответ: \( [-\frac{5}{3}; \frac{5}{3}] \).