Solve the following systems of equations: 1) \(0.5a + 0.2b = 7\) \(\frac{1}{3}a - \frac{1}{10}b = 0\) 2) \(\frac{5}{6}x - y = -\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{3}x + 3y = -\frac{2}{3}\)

Решение:

Система 1:

1. Приведём первое уравнение к дробям: \( \frac{1}{2}a + \frac{1}{5}b = 7 \)
2. Выразим \( a \) из второго уравнения: \( \frac{1}{3}a = \frac{1}{10}b \) \( \implies a = \frac{3}{10}b \)
3. Подставим \( a \) в первое уравнение: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10}b + \frac{1}{5}b = 7 \)
4. Упростим: \( \frac{3}{20}b + \frac{4}{20}b = 7 \) \( \implies \frac{7}{20}b = 7 \)
5. Найдем \( b \): \( b = 7 \cdot \frac{20}{7} = 20 \)
6. Найдем \( a \): \( a = \frac{3}{10} \cdot 20 = 6 \)

Система 2:

1. Умножим первое уравнение на \( 6 \) и второе на \( 3 \) для избавления от дробей:
2. \( 5x - 6y = -5 \)
3. \( 2x + 9y = -2 \)
4. Умножим первое уравнение на \( 2 \), второе на \( 5 \):
5. \( 10x - 12y = -10 \)
6. \( 10x + 45y = -10 \)
7. Вычтем первое уравнение из второго: \( (10x + 45y) - (10x - 12y) = -10 - (-10) \) \( \implies 57y = 0 \) \( \implies y = 0 \)
8. Подставим \( y = 0 \) в уравнение \( 5x - 6y = -5 \): \( 5x - 6(0) = -5 \) \( \implies 5x = -5 \) \( \implies x = -1 \)

Ответ: 1) \( a = 6, b = 20 \); 2) \( x = -1, y = 0 \).