Solve the following system of differential equations: $$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = x - 2y \\ \frac{dy}{dt} = 3x + 6y \end{cases}$$

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем систему в матричном виде: $$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
2. Шаг 2: Найдем собственные значения матрицы $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$. Характеристическое уравнение: $$det(A - \lambda I) = 0$$.
   $$ \begin{vmatrix} 1-\lambda & -2 \\ 3 & 6-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(6-\lambda) - (-2)(3) = 6 - \lambda - 6\lambda + \lambda^2 + 6 = \lambda^2 - 7\lambda + 12 = 0 $$
   Решаем квадратное уравнение: $$ (\lambda - 3)(\lambda - 4) = 0 $$. Собственные значения: $$ \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 4 $$.
3. Шаг 3: Найдем собственные векторы для каждого собственного значения.
   Для $$ \lambda_1 = 3 $$:
   $$ (A - 3I)v_1 = 0 $$
   $$ \begin{pmatrix} 1-3 & -2 \\ 3 & 6-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
   Из этого следует, что $$ -2v_{11} - 2v_{12} = 0 $$, или $$ v_{11} = -v_{12} $$. Пусть $$ v_{12} = 1 $$, тогда $$ v_{11} = -1 $$. Собственный вектор $$ v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$.
   Для $$ \lambda_2 = 4 $$:
   $$ (A - 4I)v_2 = 0 $$
   $$ \begin{pmatrix} 1-4 & -2 \\ 3 & 6-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
   Из этого следует, что $$ 3v_{21} + 2v_{22} = 0 $$. Пусть $$ v_{21} = 2 $$, тогда $$ v_{22} = -3 $$. Собственный вектор $$ v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} $$.
4. Шаг 4: Запишем общее решение системы:
   $$ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{\lambda_1 t} v_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} v_2 $$
   $$ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{3t} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{4t} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} $$

Ответ: $$ x(t) = -c_1 e^{3t} + 2c_2 e^{4t}, \quad y(t) = c_1 e^{3t} - 3c_2 e^{4t} $$