Solve the following expression: (1/3)^-10 * 27^-3 + 0.2^-4 * 25^-2 + (64/9)^-3

Решение:

Запишем выражение, используя степени:

\( \left( \frac{1}{3} \right)^{-10} \cdot 27^{-3} + 0.2^{-4} \cdot 25^{-2} + \left( \frac{64}{9} \right)^{-3} \)

1. Преобразуем числа в основания степеней:
• \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \)
• \( 27 = 3^3 \)
• \( 0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} \)
• \( 25 = 5^2 \)
• \( \frac{64}{9} = \frac{4^3}{3^2} = \left( \frac{4}{3} \right)^3 \)
2. Подставим преобразованные основания в выражение:
• \( (3^{-1})^{-10} \cdot (3^3)^{-3} + (5^{-1})^{-4} \cdot (5^2)^{-2} + \left( \left( \frac{4}{3} \right)^3 \right)^{-3} \)
3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
• \( 3^{10} \cdot 3^{-9} + 5^{4} \cdot 5^{-4} + \left( \frac{4}{3} \right)^{-9} \)
4. Применим свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
• \( 3^{10-9} + 5^{4-4} + \left( \frac{3}{4} \right)^{9} \)
5. Упростим:
• \( 3^1 + 5^0 + \left( \frac{3}{4} \right)^{9} \)
6. Вычислим:
• \( 3 + 1 + \left( \frac{3}{4} \right)^{9} \)
• \( 4 + \left( \frac{3}{4} \right)^{9} \)

Ответ: \( 4 + \left( \frac{3}{4} \right)^{9} \).