Solve the equation: \(\sqrt{x + 5} + \sqrt{3 - x} = 1\)

Решение:

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

1. \( x + 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5 \)
2. \( 3 - x \ge 0 \Rightarrow -x \ge -3 \Rightarrow x \le 3 \)

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \( x \in [-5; 3] \).

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{x + 5} + \sqrt{3 - x})^2 = 1^2 \)

\( (x + 5) + 2\sqrt{(x + 5)(3 - x)} + (3 - x) = 1 \)

Упрощаем:

\( 8 + 2\sqrt{-x^2 - 2x + 15} = 1 \)

Изолируем корень:

\( 2\sqrt{-x^2 - 2x + 15} = 1 - 8 \)

\( 2\sqrt{-x^2 - 2x + 15} = -7 \)

\( \sqrt{-x^2 - 2x + 15} = -\frac{7}{2} \)

Левая часть уравнения (квадратный корень) всегда неотрицательна, а правая часть отрицательна. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.