Solve the equation: \(\sqrt{\frac{(x+2)!}{x!}} = \sqrt{3! \times 7}\)

Решение:

Нам дано уравнение:

\[ \sqrt{\frac{(x+2)!}{x!}} = \sqrt{3! \times 7} \]

Для начала упростим выражение под корнем слева:

\[ \frac{(x+2)!}{x!} = \frac{(x+2)(x+1)x!}{x!} = (x+2)(x+1) \]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[ \sqrt{(x+2)(x+1)} = \sqrt{3! \times 7} \]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[ (x+2)(x+1) = 3! \times 7 \]

Вычислим значение факториала и правую часть:

\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

\[ 6 \times 7 = 42 \]

Итак, уравнение принимает вид:

\[ (x+2)(x+1) = 42 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + x + 2x + 2 = 42 \]

\[ x^2 + 3x + 2 = 42 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 3x + 2 - 42 = 0 \]

\[ x^2 + 3x - 40 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или подобрать корни.

Через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Проверим полученные значения. Факториал определен для неотрицательных целых чисел. В исходном уравнении есть \( x! \), поэтому \( x \) должно быть неотрицательным целым числом. Значит, \( x = -8 \) не подходит.

Проверим \( x = 5 \):

\[ \frac{(5+2)!}{5!} = \frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42 \]

\[ \sqrt{42} = \sqrt{3! \times 7} = \sqrt{6 \times 7} = \sqrt{42} \]

Уравнение выполняется.

Ответ: x = 5.