Solve the equation: \(\frac{x^2 - 2x}{x-7} = \frac{35}{x-7}\)

Решение:

Чтобы решить уравнение \(\frac{x^2 - 2x}{x-7} = \frac{35}{x-7}\), сначала заметим, что знаменатель \(x-7\) не может быть равен нулю, то есть \(x \neq 7\).

1. Так как знаменатели одинаковы, мы можем приравнять числители: \(x^2 - 2x = 35\)
2. Перенесём всё в одну часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: \(x^2 - 2x - 35 = 0\)
3. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.
• С использованием теоремы Виета: Найдём два числа, произведение которых равно \(-35\), а сумма равна \(2\). Это числа \(7\) и \(-5\).
• С использованием дискриминанта: \(a=1, b=-2, c=-35\). \(D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-35) = 4 + 140 = 144\). \(\sqrt{D} = 12\). \(x_1 = \frac{-(-2) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7\). \(x_2 = \frac{-(-2) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5\).
4. Проверим найденные корни на соответствие условию \(x \neq 7\).
• Корень \(x = 7\) не подходит, так как знаменатель уравнения обращается в ноль.
• Корень \(x = -5\) подходит.

Ответ: x = -5.