Solve the equation \(\frac{6\cos^2 x - 5\cos x - 4}{\sqrt{-9\sin x}} = 0\)

Решение:

1. Условия допустимости:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Числитель: \(6\cos^2 x - 5\cos x - 4 = 0\)

Знаменатель: \(\sqrt{-9\sin x}\) должен быть больше нуля (так как он в знаменателе), значит \(-9\sin x > 0\).

Из условия \(-9\sin x > 0\) следует, что \(\sin x < 0\).

2. Решаем уравнение числителя:

Сделаем замену \(t = \cos x\). Уравнение принимает вид:

\(6t^2 - 5t - 4 = 0\)

Найдем дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(6)(-4) = 25 + 96 = 121\)

Найдем корни:

\(t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{121}}{2(6)} = \frac{5 + 11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\)

\(t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{121}}{2(6)} = \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}\)

3. Возвращаемся к замене:

Случай 1: \(\cos x = t_1 = \frac{4}{3}\)

Это уравнение не имеет решений, так как \(|\cos x| \le 1\), а \(\frac{4}{3} > 1\).

Случай 2: \(\cos x = t_2 = -\frac{1}{2}\)

4. Совмещаем с условием допустимости:

Нам нужно найти такие \(x\), для которых \(\cos x = -\frac{1}{2}\) и \(\sin x < 0\).

Из \(\cos x = -\frac{1}{2}\) следует, что \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\) или \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Проверим условие \(\sin x < 0\):

• Для \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), \(\sin x = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0\). Этот корень не подходит.
• Для \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\), \(\sin x = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\). Этот корень подходит.

5. Окончательный ответ:

Следовательно, решениями уравнения являются:

\(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).