Solve the equation: \(\frac{3}{x-7} = \frac{2}{4-x}\)

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, приведём его к общему знаменателю или перенесём все члены в одну сторону.

1. Перенесём \(\frac{2}{4-x}\) в левую часть с противоположным знаком: \[ \frac{3}{x-7} - \frac{2}{4-x} = 0 \]
2. Заметим, что \( x-7 \) и \( 4-x \) отличаются знаком. Преобразуем знаменатель \( 4-x \) в \( -(x-4) \) или \( x-7 \) в \( -(7-x) \). Удобнее привести к виду \( x-7 \) и \( x-4 \). Для этого умножим вторую дробь на -1 как числитель, так и знаменатель: \( \frac{2}{4-x} = \frac{-2}{-(4-x)} = \frac{-2}{x-4} \).
3. Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{3}{x-7} - \frac{-2}{x-4} = 0 \]
4. Приведём к общему знаменателю \( (x-7)(x-4) \): \[ \frac{3(x-4)}{(x-7)(x-4)} - \frac{-2(x-7)}{(x-7)(x-4)} = 0 \]
5. Объединим числители: \[ \frac{3(x-4) - (-2(x-7))}{(x-7)(x-4)} = 0 \]
6. Упростим числитель: \[ 3x - 12 + 2x - 14 = 0 \]
7. Сложим подобные члены: \[ 5x - 26 = 0 \]
8. Решим полученное линейное уравнение: \[ 5x = 26 \]\[ x = \frac{26}{5} \]
9. Проверим, не обращают ли найденные значения знаменатели в ноль. Знаменатели \( x-7 \) и \( 4-x \) не должны быть равны нулю. \( x \neq 7 \) и \( x \neq 4 \). Наше решение \( x = \frac{26}{5} = 5.2 \) удовлетворяет этим условиям.

Ответ: x = \(\frac{26}{5}\) или x = 5.2.