Solve the equation $$\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} - 3 = 0$$ and the inequality $$x-5^2 \le \sqrt{7} \cdot (x+5)$$.

Решение первого уравнения:

Обозначим $$y = \frac{1}{x-1}$$. Тогда уравнение примет вид:

• \[ y^2 + 2y - 3 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

• \[ (y+3)(y-1) = 0 \]

Отсюда получаем два значения для $$y$$:

• \[ y_1 = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = 1 \]

Теперь находим $$x$$:

• Для $$y_1 = -3$$:

\[ \frac{1}{x-1} = -3 \implies 1 = -3(x-1) \implies 1 = -3x + 3 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \]

• Для $$y_2 = 1$$:

\[ \frac{1}{x-1} = 1 \implies 1 = x-1 \implies x = 2 \]

Ответ к первому уравнению: $$x = \frac{2}{3}$$, $$x = 2$$.

Решение второго неравенства:

Неравенство: $$x-5^2 \le \sqrt{7} \cdot (x+5)$$

Раскроем скобки и упростим:

• \[ x - 25 \le \sqrt{7}x + 5\sqrt{7} \]

Перенесем все члены с $$x$$ в одну сторону, а константы в другую:

• \[ x - \sqrt{7}x \le 25 + 5\sqrt{7} \]
• \[ x(1 - \sqrt{7}) \le 25 + 5\sqrt{7} \]

Разделим обе части на $$(1 - \sqrt{7})$$. Так как $$1 - \sqrt{7} < 0$$, знак неравенства меняется на противоположный:

• \[ x \ge \frac{25 + 5\sqrt{7}}{1 - \sqrt{7}} \]

Для удобства домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя $$(1 + \sqrt{7})$$:

• \[ x \ge \frac{(25 + 5\sqrt{7})(1 + \sqrt{7})}{(1 - \sqrt{7})(1 + \sqrt{7})} \]
• \[ x \ge \frac{25 + 25\sqrt{7} + 5\sqrt{7} + 5 \cdot 7}{1 - 7} \]
• \[ x \ge rac{25 + 30\sqrt{7} + 35}{-6} \]
• \[ x \ge rac{60 + 30\sqrt{7}}{-6} \]
• \[ x \ge -(10 + 5\sqrt{7}) \]

Ответ ко второму неравенству: $$x \ge -(10 + 5\sqrt{7})$$.