Solve the equation \(\cos 2x = 2\sin^2 x - 1\), transition to the argument x. Get the equation

Решение:

1. Переход к аргументу x

Используем формулу косинуса двойного угла: \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\).

Подставляем в исходное уравнение:

\(1 - 2\sin^2 x = 2\sin^2 x - 1\)

Приводим подобные члены:

\(2 = 4\sin^2 x\)

\(\sin^2 x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

2. Получаем два случая:

Случай 1: \(\sin x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Случай 2: \(\sin x = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

3. Находим значения x:

Для случая 1: \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\) или \(x = \\[\pi - \frac{\pi}{4}\] + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Для случая 2: \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\) или \(x = \\[\pi + \frac{\pi}{4}\] + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Объединяя все корни, получаем:

\(x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).