Solve the equation: 4 sin(2x) - 2 \(\sqrt{3}\) sin(x) / \(\sqrt{7 sin(x)}\) = 0

Решение:

Для решения данного уравнения необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Числитель равен нулю:

\[ 4 \sin(2x) - 2 \sqrt{3} \sin(x) = 0 \]

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \).

\[ 4 (2 \sin(x) \cos(x)) - 2 \sqrt{3} \sin(x) = 0 \]

\[ 8 \sin(x) \cos(x) - 2 \sqrt{3} \sin(x) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 2 \sin(x) \):

\[ 2 \sin(x) (4 \cos(x) - \sqrt{3}) = 0 \]

Это означает, что либо \( \sin(x) = 0 \), либо \( 4 \cos(x) - \sqrt{3} = 0 \).

Случай 1: \( \sin(x) = 0 \)

\[ x = \pi n \), где \( n \) — целое число.

Случай 2: \( 4 \cos(x) - \sqrt{3} = 0 \)

\[ 4 \cos(x) = \sqrt{3} \]

\[ \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} \]

\[ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + 2 \pi k \), где \( k \) — целое число.

2. Знаменатель не равен нулю:

\[ \sqrt{7 \sin(x)} \neq 0 \]

\[ 7 \sin(x) \neq 0 \]

\[ \sin(x) \neq 0 \]

Это означает, что \( x \neq \pi n \), где \( n \) — целое число.

3. Объединение условий:

Мы получили, что \( \sin(x) \) не может быть равно нулю. Следовательно, решения из Случая 1 \( x = \pi n \) исключаются.

Остаются решения из Случая 2:

\[ x = \(\pm\) \(\arccos\)\(\left\)\(\frac{\sqrt{3}}{4}\right\) + 2 \(\pi\) k \), где \( k \) — целое число.

Примечание: Значение \( \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \) является приближенным и не выражается в простых радианах или градусах.

Ответ: \( x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + 2 \pi k \), где \( k \) — целое число.