Solve the equation: 1 - x + 2 = 3 / (3 + 2x)

Решение:

Дано уравнение: \( 1 - x + 2 = \frac{3}{3 + 2x} \)

1. Упростим левую часть уравнения: \( 3 - x = \frac{3}{3 + 2x} \)
2. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение. Умножим обе части на \( (3 + 2x) \), предполагая \( 3 + 2x \neq 0 \), то есть \( x \neq -\frac{3}{2} \):
\( (3 - x)(3 + 2x) = 3 \)
3. Раскроем скобки:
\( 9 + 6x - 3x - 2x^2 = 3 \)
4. Приведём подобные члены:
\( 9 + 3x - 2x^2 = 3 \)
5. Перенесём все члены в правую часть:
\( 2x^2 - 3x - 9 + 3 = 0 \)
6. Получим стандартное квадратное уравнение:
\( 2x^2 - 3x - 6 = 0 \)
7. Найдём дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \):
\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 9 + 48 = 57 \)
8. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
9. Найдём корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
\( x_1 = \frac{3 + \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + \sqrt{57}}{4} \) \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{57}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - \sqrt{57}}{4} \)
10. Проверим, что полученные корни не равны \( -\frac{3}{2} \). \( \sqrt{57} \) приблизительно равно 7.5.
\( x_1 \approx \frac{3 + 7.5}{4} = \frac{10.5}{4} = 2.625 \) \( x_2 \approx \frac{3 - 7.5}{4} = \frac{-4.5}{4} = -1.125 \)
11. Оба корня не равны \( -\frac{3}{2} = -1.5 \).

Ответ: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{57}}{4}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{57}}{4} \).