Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Для решения этого уравнения, заметим, что \( \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} \). Также \( 3^{2-x} = \frac{3^2}{3^x} = \frac{9}{3^x} \) и \( 3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x \).
Подставим это в уравнение:
\[ 3^{-3} \cdot (9 \cdot 3^x) + \frac{9}{3^x} = 4 \]\[ \frac{9 \cdot 3^x}{27} + \frac{9}{3^x} = 4 \]\[ \frac{3^x}{3} + \frac{9}{3^x} = 4 \]Пусть \( y = 3^x \). Тогда уравнение примет вид:
\[ \frac{y}{3} + \frac{9}{y} = 4 \]Умножим обе части уравнения на \( 3y \) (при условии \( y \neq 0 \), что верно для \( 3^x \)):
\[ y^2 + 27 = 12y \]\[ y^2 - 12y + 27 = 0 \]Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 \]\[ \sqrt{D} = 6 \]Найдем значения \( y \):
\[ y_1 = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]\[ y_2 = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]Теперь вернемся к замене \( y = 3^x \) и найдем \( x \):
- \( 3^x = 9 \) \( \Rightarrow \) \( 3^x = 3^2 \) \( \Rightarrow \) \( x = 2 \)
- \( 3^x = 3 \) \( \Rightarrow \) \( 3^x = 3^1 \) \( \Rightarrow \) \( x = 1 \)
Проверим корни:
- При \( x=2 \): \( \frac{1}{27} \cdot 3^{2+2} + 3^{2-2} = \frac{1}{27} \cdot 3^4 + 3^0 = \frac{81}{27} + 1 = 3 + 1 = 4 \). Верно.
- При \( x=1 \): \( \frac{1}{27} \cdot 3^{1+2} + 3^{2-1} = \frac{1}{27} \cdot 3^3 + 3^1 = \frac{27}{27} + 3 = 1 + 3 = 4 \). Верно.
Ответ: x = 1, x = 2.
