Сократите дробь (x²+x+1)(x²+x+5) +3 / (x²+x+1)(x²+x+7)+9

Решение:

Обозначим \( y = x^2 + x + 1 \).

Тогда дробь примет вид:

\[ \frac{y(y+4) + 3}{y(y+6) + 9} \]

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

Числитель: \( y(y+4) + 3 = y^2 + 4y + 3 \).

Знаменатель: \( y(y+6) + 9 = y^2 + 6y + 9 \).

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители. Ищем два числа, произведение которых равно 3, а сумма равна 4. Это числа 1 и 3. Значит, \( y^2 + 4y + 3 = (y+1)(y+3) \).

Знаменатель является полным квадратом суммы: \( y^2 + 6y + 9 = (y+3)^2 \).

Подставим обратно \( y = x^2 + x + 1 \):

Числитель: \( (x^2+x+1+1)(x^2+x+1+3) = (x^2+x+2)(x^2+x+4) \).

Знаменатель: \( (x^2+x+1+3)^2 = (x^2+x+4)^2 \).

Теперь дробь выглядит так:

\[ \frac{(x^2+x+2)(x^2+x+4)}{(x^2+x+4)^2} \]

Сократим общий множитель \( (x^2+x+4) \):

\[ \frac{x^2+x+2}{x^2+x+4} \]

Ответ: \( \frac{x^2+x+2}{x^2+x+4} \).