Сократите дробь $$\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{x}-x\sqrt{y}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}$$

Решение:

Запишем данное выражение:

\( \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{x}-x\sqrt{y}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}} \)

Перегруппируем члены в числителе:

\( \frac{(x\sqrt{x}-x\sqrt{y})+(y\sqrt{x})}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}} \)

Вынесем общие множители:

\( \frac{x(\sqrt{x}-\sqrt{y}) + y\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}} \)

Рассмотрим другое преобразование числителя, группируя по-иному:

\( \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{x} - x\sqrt{y}}{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x})^3 + y\sqrt{x} - x\sqrt{y}}{(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3} \)

Это не приводит к упрощению.

Попробуем разложить знаменатель как сумму кубов: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \). Здесь \( a = √ x \) и \( b = √ y \).

\( x\sqrt{x}+y√ y = (√ x)^3 + (√ y)^3 = (√ x + √ y)((√ x)^2 - √ x √ y + (√ y)^2) = (√ x + √ y)(x - √{xy} + y) \)

Попробуем преобразовать числитель, выделив \( √ x \) и \( √ y \) как отдельные переменные. Пусть \( a = √ x \) и \( b = √ y \). Тогда \( x = a^2 \) и \( y = b^2 \).

Выражение становится:

\( \frac{a^2 · a + b^2 · a - a^2 · b}{a^2 · a + b^2 · b} = \frac{a^3 + ab^2 - a^2b}{a^3 + b^3} \)

Разложим числитель:

\( a^3 + ab^2 - a^2b = a(a^2 + b^2 - ab) \)

Теперь подставим обратно в дробь:

\( \frac{a(a^2 - ab + b^2)}{a^3 + b^3} \)

Мы знаем, что \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \). Поэтому:

\( \frac{a(a^2 - ab + b^2)}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} \)

Сократим общий множитель \( (a^2 - ab + b^2) \) (при условии, что он не равен нулю):

\( \frac{a}{a+b} \)

Подставим обратно \( a = √ x \) и \( b = √ y \):

\( \frac{√ x}{√ x + √ y} \)

Проверка условия, при котором \( a^2 - ab + b^2 \) не равен нулю:

\( a^2 - ab + b^2 = 0 \). Умножим на 2: \( 2a^2 - 2ab + 2b^2 = 0 \). Можно представить как \( a^2 + (a-b)^2 + b^2 = 0 \). Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю. Это означает \( a=0 \) и \( b=0 \), что соответствует \( x=0 \) и \( y=0 \). В этом случае знаменатель \( x√ x + y√ y = 0 \), что недопустимо. Следовательно, \( a^2 - ab + b^2 \) не равен нулю для допустимых \( x, y \) (где \( x ≥ 0, y ≥ 0 \) и \( x√ x + y√ y ≠ 0 \)).

Ответ: \( \frac{√ x}{√ x + √ y} \)