Сократи дробь $$\frac{80^{m+1}}{4^{2m+1} \cdot 5^{m-1}}$$. (В ответе запиши только число.)

Решение:

1. Преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя свойства степеней.
2. Числитель: \( 80^{m+1} = (16 \cdot 5)^{m+1} = (2^4 \cdot 5)^{m+1} = 2^{4(m+1)} \cdot 5^{m+1} = 2^{4m+4} \cdot 5^{m+1} \).
3. Знаменатель: \( 4^{2m+1} \cdot 5^{m-1} = (2^2)^{2m+1} \cdot 5^{m-1} = 2^{2(2m+1)} \cdot 5^{m-1} = 2^{4m+2} \cdot 5^{m-1} \).
4. Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь: \[ \frac{2^{4m+4} \cdot 5^{m+1}}{2^{4m+2} \cdot 5^{m-1}} \]
5. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием \( a^x / a^y = a^{x-y} \): \[ 2^{(4m+4)-(4m+2)} \cdot 5^{(m+1)-(m-1)} \]
6. Упростим показатели степеней: \[ 2^{4m+4-4m-2} \cdot 5^{m+1-m+1} = 2^2 \cdot 5^2 \]
7. Вычислим результат: \[ 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100 \]

Ответ: 100