Снаряд массой 2 кг, летящий со скоростью 300 м/с, разрывается на два осколка. Один из осколков летит под углом 90° к первоначальному направлению, а второй – под углом 30°. Какова скорость второго осколка, если его масса равна 1 кг? Ответ дайте в м/с и округлите до сотых.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Поскольку взрыв происходит без внешних сил, полный импульс системы до взрыва равен полному импульсу после взрыва.

Пусть \( m_1 = 2 \) кг — масса снаряда, \( v_1 = 300 \) м/с — его начальная скорость.

Снаряд разрывается на два осколка. Пусть \( m_2 = 1 \) кг — масса второго осколка, \( v_2 \) — его скорость. Тогда масса первого осколка \( m_3 = m_1 - m_2 = 2 - 1 = 1 \) кг.

Начальный импульс снаряда: \( \vec{p_1} = m_1 \vec{v_1} \).

Пусть первоначальное направление движения снаряда — ось X. Тогда \( \vec{p_1} = (m_1 v_1, 0) = (2 \cdot 300, 0) = (600, 0) \) кг·м/с.

Первый осколок летит под углом 90° к первоначальному направлению. Пусть это будет ось Y. Его импульс: \( \vec{p_2} = (0, m_2 v_{2y}) \), где \( v_{2y} \) — скорость первого осколка. Так как сказано, что угол 90°, то можно считать, что \( v_{2y} \) — это скорость первого осколка, и она направлена по оси Y. Однако, учитывая, что скорость второго осколка дана под углом 30°, то скорее всего, первый осколок летит перпендикулярно направлению движения второго осколка. Текст задания немного неоднозначен. Предположим, что первый осколок летит вдоль оси Y, а второй — под углом 30° к оси X.

Если первый осколок летит под углом 90° к первоначальному направлению, это означает, что его вектор скорости перпендикулярен вектору \( v_1 \). Обозначим скорость первого осколка как \( v_A \).

Второй осколок летит под углом 30° к первоначальному направлению. Обозначим его скорость как \( v_B \).

По закону сохранения импульса в векторной форме: \( m_1 \vec{v_1} = m_A \vec{v_A} + m_B \vec{v_B} \).

Распишем по компонентам, принимая \( v_1 \) по оси X:

Ось X: \( m_1 v_1 = m_A v_A \cos(\alpha_A) + m_B v_B \cos(\alpha_B) \)

Ось Y: \( 0 = m_A v_A \sin(\alpha_A) + m_B v_B \sin(\alpha_B) \)

В условии сказано: «Один из осколков летит под углом 90° к первоначальному направлению». Обозначим этот осколок как осколок А, его масса \( m_A = 1 \) кг. Тогда \( \alpha_A = 90° \).

Второй осколок — осколок B, его масса \( m_B = 1 \) кг. Угол его направления — \( \alpha_B = 30° \).

Подставим значения:

Ось X: \( 2 \cdot 300 = 1 \cdot v_A \cos(90°) + 1 \cdot v_B \cos(30°) \)

Ось Y: \( 0 = 1 \cdot v_A \sin(90°) + 1 \cdot v_B \sin(30°) \)

Упростим уравнения:

Ось X: \( 600 = v_A \cdot 0 + v_B \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) => \( 600 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_B \) => \( v_B = \frac{1200}{\sqrt{3}} \) м/с.

Ось Y: \( 0 = v_A \cdot 1 + v_B \cdot \frac{1}{2} \) => \( v_A = -\frac{1}{2} v_B \).

Здесь есть противоречие. Если \( v_A \) — это скорость, то она должна быть положительной. Угол 90° означает, что один из осколков летит либо строго вверх, либо строго вниз относительно первоначального движения. Если \( v_A \) имеет положительное значение, то \( v_B \) должна быть отрицательной по оси Y, что означает, что второй осколок летит под углом 30° вниз. Но обычно в таких задачах подразумевается, что все скорости положительны, а направления заданы углами.

Переформулируем условие: Первый осколок летит под углом 90° к первоначальному направлению (т.е. вдоль оси Y). Второй осколок летит под углом 30° к первоначальному направлению (т.е. под углом 30° к оси X). Учитываем, что суммарный импульс по оси Y должен быть равен нулю.

Пусть \( m_1 = 2 \) кг, \( v_1 = 300 \) м/с. Начальный импульс \( \vec{p_1} = (600, 0) \) кг·м/с.

Осколок А: \( m_A = 1 \) кг, скорость \( v_A \), угол \( \alpha_A = 90° \).

Осколок B: \( m_B = 1 \) кг, скорость \( v_B \), угол \( \alpha_B = 30° \).

Закон сохранения импульса:

По оси X: \( m_1 v_1 = m_A v_A \cos(90°) + m_B v_B \cos(30°) \)

\( 2 \cdot 300 = 1 \cdot v_A \cdot 0 + 1 \cdot v_B \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( 600 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_B \) => \( v_B = \frac{1200}{\sqrt{3}} = \frac{1200\sqrt{3}}{3} = 400\sqrt{3} \) м/с.

По оси Y: \( 0 = m_A v_A \sin(90°) + m_B v_B \sin(30°) \)

\( 0 = 1 \cdot v_A \cdot 1 + 1 \cdot v_B \cdot \frac{1}{2} \)

\( v_A = -\frac{1}{2} v_B \).

Так как \( v_A \) — это скорость, то она должна быть положительной. Следовательно, \( v_B \) должна иметь такое направление, чтобы компенсировать \( v_A \). Если \( v_A \) направлена по оси Y, то \( v_B \) должна иметь компоненту по оси Y, направленную против оси Y.

Перечитаем условие: «Один из осколков летит под углом 90° к первоначальному направлению, а второй – под углом 30°». Это значит, что углы заданы относительно направления движения снаряда до разрыва.

Пусть \( \vec{p}_1 = (600, 0) \).

Скорость первого осколка \( \vec{v}_A \), масса \( m_A = 1 \) кг. Угол \( \alpha_A = 90° \). Компоненты импульса \( \vec{p}_A = (m_A v_A orward{\cos(90°)}, m_A v_A orward{\sin(90°)}) = (0, v_A) \) (предполагаем, что \( v_A > 0 \)).

Скорость второго осколка \( \vec{v}_B \), масса \( m_B = 1 \) кг. Угол \( \alpha_B = 30° \). Компоненты импульса \( \vec{p}_B = (m_B v_B orward{\cos(30°)}, m_B v_B orward{\sin(30°)}) = (v_B \frac{\sqrt{3}}{2}, v_B \frac{1}{2}) \) (предполагаем, что \( v_B > 0 \) и угол 30° отложен вверх).

По закону сохранения импульса:

По оси X: \( 600 = 0 + v_B \frac{\sqrt{3}}{2} \) => \( v_B = \frac{1200}{\sqrt{3}} = 400\sqrt{3} \) м/с.

По оси Y: \( 0 = v_A + v_B \frac{1}{2} \) => \( v_A = -\frac{1}{2} v_B \).

Получается, что \( v_A \) должна быть отрицательной, если \( v_B \) положительна и под углом 30° вверх. Это означает, что второй осколок должен лететь под углом 30° вниз.

Давайте предположим, что углы заданы так, что компоненты импульса складываются правильно.

Пусть \( \vec{p}_1 = (600, 0) \).

Осколок 1: \( m_1 = 1 \) кг, скорость \( v_1 \), угол 90° (по оси Y, \( \alpha_1 = 90° \)). Импульс \( \vec{p}_1 = (0, v_1) \).

Осколок 2: \( m_2 = 1 \) кг, скорость \( v_2 \), угол 30° (относительно оси X). Это может быть 30° вверх или 30° вниз. Обозначим его как \( \alpha_2 \).

Суммарный импульс: \( \vec{p}_1 = \vec{p}_A + \vec{p}_B \).

Если \( \vec{p}_A \) направлен по оси Y, то \( \vec{p}_B \) должно иметь компоненту по оси X, чтобы компенсировать \( \vec{p}_1 \), и компоненту по оси Y, равную по модулю и противоположную по знаку компоненте \( \vec{p}_A \).

Импульс первого осколка: \( \vec{p}_A = (0, m_A v_A) \) (предполагаем, что \( v_A > 0 \)).

Импульс второго осколка: \( \vec{p}_B = (m_B v_B orward{\cos(\alpha_B)}, m_B v_B orward{\sin(\alpha_B)}) \). Масса \( m_B = 1 \) кг.

Из закона сохранения импульса по оси X: \( 600 = 0 + 1 \cdot v_B orward{\cos(\alpha_B)} \).

Из закона сохранения импульса по оси Y: \( 0 = m_A v_A + 1 \cdot v_B orward{\sin(\alpha_B)} \).

\( 0 = 1 \cdot v_A + v_B orward{\sin(\alpha_B)} \) => \( v_A = -v_B orward{\sin(\alpha_B)} \).

Так как \( v_A > 0 \) и \( v_B > 0 \), то \( \sin(\alpha_B) \) должно быть отрицательным, то есть \( \alpha_B \) должен быть в 3-м или 4-м квадранте. Угол 30° обычно подразумевает откладывание от оси X.

Если \( \alpha_B = -30° \), тогда \( \sin(-30°) = -1/2 \).

\( v_A = -v_B \cdot (-1/2) = v_B/2 \).

Из оси X: \( 600 = v_B \cos(-30°) = v_B \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( v_B = \frac{1200}{\sqrt{3}} = 400\sqrt{3} \) м/с.

Тогда \( v_A = \frac{1}{2} (400\sqrt{3}) = 200\sqrt{3} \) м/с.

Скорость второго осколка: \( v_B = 400\sqrt{3} \) м/с.

\( \sqrt{3} \approx 1.732 \)

\( v_B \approx 400 \cdot 1.732 = 692.8 \) м/с.

Округляем до сотых: 692.80 м/с.

Проверим другой вариант, если второй осколок под углом 30° вверх: \( \alpha_B = 30° \).

\( 600 = v_B orward{\cos(30°)} \) => \( v_B = 400\sqrt{3} \) м/с.

\( 0 = v_A + v_B orward{\sin(30°)} \) => \( v_A = -v_B orward{\sin(30°)} = -400\sqrt{3} orward{\cdot (1/2)} = -200\sqrt{3} \) м/с.

Так как скорость не может быть отрицательной, это означает, что угол 30° должен быть отложен вниз.

Итого, скорость второго осколка \( v_B = 400\sqrt{3} \) м/с.

\( v_B = 400 \times 1.7320508 \dots \approx 692.820323 \dots \)

Округляем до сотых: 692.82 м/с.

Ответ: 692.82 м/с.