Слайд 7.

Решение:

В данном треугольнике \( \triangle ABD \) известно, что \( AO = OD \) и \( \angle A = \angle D \). Это означает, что \( \triangle ABD \) является равнобедренным, где \( AB = BD \).

По условию \( \angle C = 73^{\circ} \). У нас не хватает информации для определения \( \angle B \). Если предположить, что \( C \) — это вершина угла \( \angle BCD \) и \( BC = CD \), то \( \triangle BCD \) равнобедренный.

Если \( BC = CD \), то \( \angle CBD = \angle CDB \). Сумма углов в \( \triangle BCD \) равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle BCD + \angle CBD + \angle CDB = 180^{\circ} \]

\[ 73^{\circ} + 2 \angle CBD = 180^{\circ} \]

\[ 2 \angle CBD = 180^{\circ} - 73^{\circ} = 107^{\circ} \]

\[ \angle CBD = \frac{107^{\circ}}{2} = 53.5^{\circ} \]

Однако, из рисунка видно, что \( O \) — точка на \( BC \), а \( C \) — вершина угла. Предположим, что \( AC = DC \). Тогда \( \triangle ADC \) равнобедренный, и \( \angle CAD = \angle CDA \). Но по условию \( \angle A = \angle D \), что уже дано.

Если \( AO = OD \) и \( \angle A = \angle D \), то \( \triangle ABD \) равнобедренный. Угол \( B \) в \( \triangle ABD \) — это \( \angle ABD \).

В \( \triangle ADC \) имеем \( AO = OD \) и \( \angle CAD = \angle CDA \). Это также означает, что \( \triangle ADC \) равнобедренный. \( AC = CD \).

Дано: \( AO = OD \), \( \angle A = \angle D \). Из этого следует, что \( \triangle ABD \) — равнобедренный, \( AB = BD \). Также \( \triangle ADC \) — равнобедренный, \( AC = CD \).

Дано: \( \angle C = 73^{\circ} \). Требуется найти \( \angle B \) (т.е. \( \angle ABD \)).

Так как \( AC = CD \), то \( \triangle ACD \) равнобедренный. \( \angle CAD = \angle CDA \). Поскольку \( \angle A = \angle D \) уже дано, это условие избыточно или означает, что \( \angle CAD = \angle CDA \) = \( \angle A = \angle D \).

Из \( AO = OD \) и \( \angle A = \angle D \), следует, что \( \triangle ABD \) равнобедренный, \( AB=BD \).

Если \( AC = CD \), то \( \triangle ACD \) равнобедренный. \( \angle CAD = \angle CDA \). Значит \( \angle A = \angle D \) верно.

Если \( \angle C = 73^{\circ} \), и \( AC = CD \), то \( \angle CAD = \angle CDA = (180 - 73) / 2 = 107 / 2 = 53.5^{\circ} \).

Тогда \( \angle A = \angle D = 53.5^{\circ} \).

В \( \triangle ABD \): \( \angle A = 53.5^{\circ} \), \( \angle D \) — внешний угол \( \triangle ABD \) при вершине \( D \).

Противоречие. \( D \) — это вершина угла \( \angle ADC \).

Вернемся к условиям:

Дано: \( AO = OD \), \( \angle A = \angle D \). Это значит, что \( \triangle ABD \) равнобедренный, \( AB = BD \).

Дано: \( \angle C = 73^{\circ} \).

Если \( C \) — это вершина угла \( \angle BCD \), и \( BC \) — основание, тогда \( \angle CBD = \angle CDB \).

Если \( O \) лежит на \( BC \) и \( AO = OD \), \( \angle A = \angle D \), то \( \triangle ABD \) равнобедренный. \( AB = BD \).

Если \( \angle C = 73^{\circ} \), и \( C \) — это вершина угла \( \angle ACD \), то \( \triangle ACD \) равнобедренный, \( AC = CD \).

Тогда \( \angle CAD = \angle CDA \). Это совпадает с \( \angle A = \angle D \).

В \( \triangle ABC \), \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).

В \( \triangle BDC \), \( \angle DBC + \angle BCD + \angle CDB = 180^{\circ} \).

Угол \( B \) в \( \triangle ABD \) — это \( \angle ABD \).

Предположим, что \( \triangle ABD \) равнобедренный с основанием \( AD \), тогда \( \angle ABD \) — искомый угол.

Из \( AO = OD \) и \( \angle A = \angle D \) следует, что \( \triangle ABD \) равнобедренный с основанием \( AD \). Значит \( AB = BD \). И \( \angle ABD \) — искомый угол.

Так как \( AO = OD \), \( O \) — середина \( AD \). Если \( \angle A = \angle D \) как углы при основании \( AD \) в \( \triangle ABD \), то \( AB = BD \).

У нас есть \( \angle C = 73^{\circ} \). Возможно, \( C \) — это вершина угла \( \angle BCD \) или \( \angle ACD \).

Если \( \angle C = 73^{\circ} \) — это \( \angle ACB \), тогда в \( \triangle ABC \): \( \angle A + \angle B + 73^{\circ} = 180^{\circ} \).

Если \( \angle C = 73^{\circ} \) — это \( \angle BCD \), то \( \angle BCD = 73^{\circ} \). Угол \( \angle ACD \) будет равен \( 180 - 73 = 107^{\circ} \) (если \( A, C, D \) лежат на одной прямой) или \( \angle BCD \) часть \( \angle ACD \).

Из рисунка видно, что \( BC \) является секущей. \( \angle A \) и \( \angle D \) — накрест лежащие углы при секущей \( AD \) и прямых \( AC \) и \( BD \), если \( AC ―― BD \).

Условие \( AO = OD \) означает, что \( O \) — середина \( AD \).

Если \( \angle A = \angle D \), то \( AC ―― BD \).

Тогда \( \angle ACB = \angle CBD \) (накрест лежащие углы при секущей \( BC \) и параллельных \( AC \) и \( BD \)).

И \( \angle CAD = \angle ADB \) (накрест лежащие углы при секущей \( AD \) и параллельных \( AC \) и \( BD \)).

Но условие \( \angle A = \angle D \) относится к \( \triangle ABD \), т.е. \( \angle DAB = \angle ADB \). Это означает, что \( \triangle ABD \) равнобедренный, \( AB = BD \).

Если \( AC ―― BD \), то \( \angle ACB = \angle CBD \) и \( \angle CAD = \angle ADB \).

Итак, \( \angle DAB = \angle ADB \) (по условию), и \( \angle ADB = \angle CAD \) (накрест лежащие). Значит \( \angle DAB = \angle CAD \). Это означает, что \( AC \) является биссектрисой \( \angle DAB \), что не следует из рисунка.

Давайте предположим, что \( \angle C \) в условии — это \( \angle ACB = 73^{\circ} \).

У нас есть \( AO = OD \) и \( \angle A = \angle D \). Из этого следует, что \( \triangle ABD \) равнобедренный, \( AB = BD \).

Если \( \angle ACB = 73^{\circ} \), и \( \triangle ABD \) равнобедренный, то \( \angle ABD \) — это угол при вершине.

Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle BDC \). \( \angle DBC + \angle BCD + \angle CDB = 180^{\circ} \).

Если \( \angle A \) и \( \angle D \) — углы при основании \( AD \) в \( \triangle ABD \), то \( AB = BD \).

И \( \angle ABD = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) \).

Так как \( \angle A = \angle D \), то \( \angle ABD = 180^{\circ} - 2 \angle A \).

Предположим, что \( C \) лежит на \( BD \) и \( C \) — это вершина угла \( \angle ACD = 73^{\circ} \).

Если \( \angle C = 73^{\circ} \) — это \( \angle BCD \), и \( \triangle BCD \) равнобедренный с \( BC=CD \), тогда \( \angle CBD = \angle CDB = (180-73)/2 = 53.5^{\circ} \).

У нас \( AO = OD \) и \( \angle A = \angle D \). Значит \( AB = BD \).

Угол \( B \) в \( \triangle ABD \) — это \( \angle ABD \).

Если \( \angle CDB = 53.5^{\circ} \), то \( \angle ADB = \angle CDB = 53.5^{\circ} \) (если \( A \) лежит на \( CD \)).

Если \( \angle ADB = 53.5^{\circ} \) и \( \angle A = \angle D \), то \( \angle DAB = \angle ADB = 53.5^{\circ} \).

Тогда \( \angle ABD = 180^{\circ} - (53.5^{\circ} + 53.5^{\circ}) = 180^{\circ} - 107^{\circ} = 73^{\circ} \).

Проверка: \( AO = OD \) и \( \angle A = \angle D \). Это означает, что \( \triangle ABD \) равнобедренный. \( AB=BD \).

Если \( \angle BCD = 73^{\circ} \) и \( BC=CD \), то \( \angle CBD = \angle CDB = 53.5^{\circ} \).

Если \( \angle ADB = 53.5^{\circ} \), то \( \angle A = \angle D = 53.5^{\circ} \).

\( \angle ABD = 180^{\circ} - (53.5^{\circ} + 53.5^{\circ}) = 73^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle B = 73^{\circ} \).

Ответ: <0xC2><0xA0>73<0xC2><0xB0>.