Сколько существует пар натуральных чисел (x, y), таких, что 3x + 4y = 100?

Рассмотрим уравнение 3x + 4y = 100 и найдем все натуральные решения:
1. x и y должны быть натуральными числами, т.е. x > 0, y > 0.
2. Преобразуем уравнение: y = (100 - 3x) / 4. Это выражение показывает, что 100 - 3x должно быть делимо на 4.
3. Найдем такие значения x, для которых 100 - 3x делится на 4.
4. Для этого 100 - 3x ≡ 0 (mod 4). Поскольку 100 ≡ 0 (mod 4), то -3x ≡ 0 (mod 4).
5. Поскольку 3 и 4 взаимно просты, это эквивалентно x ≡ 0 (mod 4).
6. Значит, x = 4k, где k - натуральное число.
7. Подставим x = 4k в уравнение: 3(4k) + 4y = 100.
8. 12k + 4y = 100.
9. 4y = 100 - 12k.
10. y = (100 - 12k) / 4.
11. 100 - 12k должно быть делимо на 4.
12. Проверяем допустимые значения k: 100 - 12k > 0, k ≤ 8.
13. Найдем y для каждого допустимого k: k = 1: y = 22; k = 2: y = 19; k = 3: y = 16; k = 4: y = 13; k = 5: y = 10; k = 6: y = 7; k = 7: y = 4; k = 8: y = 1.
14. Получаем 8 решений: (4, 22), (8, 19), (12, 16), (16, 13), (20, 10), (24, 7), (28, 4), (32, 1).
Ответ: 8.