Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых нет цифры 4, и все цифры чётны и различны?

Решение:

Нам нужно найти количество четырёхзначных чисел, которые соответствуют трём условиям: 1) число четырёхзначное, 2) в записи нет цифры 4, 3) все цифры чётные и различны.

Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Поскольку цифра 4 исключена, у нас остаётся следующий набор чётных цифр: 0, 2, 6, 8.

Рассмотрим позиции цифр в четырёхзначном числе:

• Тысячи: Первая цифра не может быть нулём. Из доступных чётных цифр (0, 2, 6, 8) мы можем выбрать 2, 6, 8. Таким образом, у нас есть 3 варианта для первой цифры.
• Сотни: Теперь мы можем использовать ноль. У нас есть 4 доступные чётные цифры (0, 2, 6, 8). Одна цифра уже использована для тысяч, поэтому для сотен остаётся 3 варианта.
• Десятки: Из оставшихся чётных цифр (4 всего, 2 уже использовано), у нас остаётся 2 варианта.
• Единицы: Из оставшихся чётных цифр (4 всего, 3 уже использовано), у нас остаётся 1 вариант.

Общее количество таких четырёхзначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции:

\( 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18 \)

Ответ: 18