Сколько решений имеет система уравнений { 2x - y² = 5 -6x + 3y = -15 Выберите один ответ: a. ни одной b. 1 c. бесчисленное количество d. 2

Решение:

Рассмотрим данную систему уравнений:

\( \begin{cases} 2x - y^2 = 5 \\ -6x + 3y = -15 \end{cases} \)

Преобразуем второе уравнение системы:

\( -6x + 3y = -15 \)

Разделим обе части уравнения на 3:

\( -2x + y = -5 \)

Выразим \( y \) через \( x \):

\( y = 2x - 5 \)

Подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение системы:

\( 2x - (2x - 5)^2 = 5 \)

Раскроем скобки:

\( 2x - (4x^2 - 20x + 25) = 5 \)

\( 2x - 4x^2 + 20x - 25 = 5 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( -4x^2 + 22x - 25 - 5 = 0 \)

\( -4x^2 + 22x - 30 = 0 \)

Разделим обе части уравнения на -2:

\( 2x^2 - 11x + 15 = 0 \)

Теперь найдём дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a=2 \), \( b=-11 \), \( c=15 \).

\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 121 - 120 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что система имеет два решения.

Найдём корни \( x \):

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2.5 \]

Таким образом, мы нашли два различных значения \( x \). Каждому значению \( x \) соответствует одно значение \( y \) из уравнения \( y = 2x - 5 \).

При \( x=3 \): \( y = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 \).

При \( x=2.5 \): \( y = 2(2.5) - 5 = 5 - 5 = 0 \).

Следовательно, система имеет два решения: \( (3, 1) \) и \( (2.5, 0) \).

Ответ: d. 2