Система грузов М, m1 и m2, показанная на рисунке, движется из состояния покоя. Поверхность стола горизонтальная гладкая. Коэффициент трения между грузами М и m1 μ = 0,2. Грузы М и m2 связаны лёгкой нерастяжимой нитью, которая скользит по блоку без трения. Пусть М = 1,2 кг, m1 = m2 = m. При каких значениях m грузы М и m1 движутся как одно целое? Какие законы Вы использовали для описания движения системы грузов? Обоснуйте их применимость к данному случаю. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела.

Решение:

Для решения данной задачи применим второй закон Ньютона и рассмотрим два случая:

1. Грузы движутся как одно целое. В этом случае сила трения между грузами \( M \) и \( m_1 \) обеспечивает их совместное ускорение.
2. Грузы движутся раздельно. В этом случае сила трения между \( M \) и \( m_1 \) максимальна и равна силе, необходимой для сдвига \( m_1 \) по \( M \).

1. Движение как одно целое

Применим второй закон Ньютона к системе грузов \( M \) и \( m_1 \) и к грузу \( m_2 \).

Для груза \( m_2 \):

Силы, действующие на \( m_2 \): сила тяжести \( m_2g \) (вниз) и сила натяжения нити \( T \) (вверх). Ускорение \( a \) направлено вниз.

\[ m_2 g - T = m_2 a \]

Для груза \( M \) и \( m_1 \) как единой системы:

Силы, действующие на систему \( M + m_1 \): сила трения \( F_{тр} \) (приложенная к \( M \) со стороны \( m_1 \)) направлена вперед, сила натяжения нити \( T \) (приложенная к \( M \) через блок) направлена назад. Ускорение \( a \) направлено вперед.

\[ F_{тр} - T = (M + m_1) a \]

Чтобы грузы двигались как одно целое, сила трения \( F_{тр} \) между \( M \) и \( m_1 \) должна быть меньше или равна максимальной силе трения скольжения, которая равна \( µ N \), где \( N \) — сила нормальной реакции опоры. На \( m_1 \) действует сила тяжести \( m_1 g \) и сила нормальной реакции \( N \) со стороны \( M \). Поскольку поверхность горизонтальная, \( N = m_1 g \).

Тогда максимальная сила трения \( F_{тр.макс} = µ m_1 g \).

Для того чтобы грузы двигались как одно целое, сила трения \( F_{тр} \) не должна превышать \( F_{тр.макс} \).

Из уравнения для \( m_2 \): \( T = m_2 g - m_2 a \).

Подставим \( T \) в уравнение для системы \( M+m_1 \):

\[ F_{тр} - (m_2 g - m_2 a) = (M + m_1) a \]

\( F_{тр} = (M + m_1 + m_2) a + m_2 g \)

Если \( m_1 = m_2 = m \) и \( M = 1.2 \) кг, \( µ = 0.2 \).

\[ F_{тр} = (1.2 + m + m) a + m g \]

\( F_{тр} = (1.2 + 2m) a + m g \)

Условие, при котором грузы движутся как одно целое: \( F_{тр} ≤ µ N = µ m_1 g = 0.2 m g \).

\( (1.2 + 2m) a + m g ≤ 0.2 m g \)

\( (1.2 + 2m) a ≤ -0.8 m g \)

Ускорение \( a \) должно быть положительным, а \( -0.8 mg \) отрицательным. Это означает, что мы должны рассмотреть граничный случай, когда трение начинает разделять грузы.

Рассмотрим граничный случай, когда сила трения между \( M \) и \( m_1 \) равна максимальной силе трения, и \( m_1 \) начинает проскальзывать по \( M \).

Сила трения, действующая на \( M \) со стороны \( m_1 \) (и обеспечивающая ускорение \( M \)), равна \( µ m_1 g \).

Для \( m_1 \):

Сила трения \( F_{тр} = µ m_1 g \) (вперед), сила натяжения нити \( T \) (назад, если бы она была связана). Но \( m_1 \) движется за счет трения. Ускорение \( a \) вперед.

\[ µ m_1 g = m_1 a \]

\( a = µ g \)

Для \( m_2 \):

\[ m_2 g - T = m_2 a \]

\( T = m_2 g - m_2 a = m_2 g - m_2 (µ g) = m_2 g (1 - µ) \)

Для \( M \):

Сила натяжения \( T \) (вперед), сила трения \( F_{тр} \) (назад, между \( M \) и \( m_1 \)).

\[ T - F_{тр} = M a \]

Подставим значения:

\[ m_2 g (1 - µ) - µ m_1 g = M (µ g) \]

Разделим на \( g \):

\[ m_2 (1 - µ) - µ m_1 = M µ \]

При \( m_1 = m_2 = m \) и \( M = 1.2 \) кг, \( µ = 0.2 \).

\[ m (1 - 0.2) - 0.2 m = 1.2 µ \]

\( m (0.8) - 0.2 m = 1.2 µ \)

\( 0.6 m = 1.2 µ \)

\( m = \frac{1.2 µ}{0.6} = 2 µ \)

\( m = 2 \times 0.2 = 0.4 \) кг.

Таким образом, если \( m ≤ 0.4 \) кг, грузы \( M \) и \( m_1 \) будут двигаться как одно целое. Если \( m > 0.4 \) кг, \( m_1 \) начнет проскальзывать по \( M \).

2. Использованные законы

Для решения использовался второй закон Ньютона. Этот закон описывает связь между силой, действующей на тело, его массой и ускорением: \( ∑ = m \). Он был применен для каждой части системы (груз \( m_2 \), груз \( m_1 \) и платформа \( M \) в случае совместного движения, а затем для \( M \) и \( m_2 \) отдельно в случае раздельного движения).

Также использовалось понятие силы трения скольжения, которая определяется как \( F_{тр} = µ N \), где \( µ \) — коэффициент трения, а \( N \) — сила нормальной реакции опоры. Это позволило определить граничное условие, при котором начинается проскальзывание.

3. Обоснование применимости законов

Законы Ньютона применимы, поскольку мы рассматриваем движение тел под действием сил. Система грузов движется после состояния покоя, что является классическим примером применения механики Ньютона. Условия задачи (гладкая поверхность стола, легкая нерастяжимая нить, блок без трения) упрощают модель, позволяя сосредоточиться на основных силах.

4. Рисунок с указанием сил

Для случая, когда грузы движутся как одно целое (m ≤ 0.4 кг):

Для случая, когда грузы движутся раздельно (m > 0.4 кг):

Ответ: Грузы \( M \) и \( m_1 \) движутся как одно целое при \( m ≤ 0.4 \) кг. Использованы второй закон Ньютона и понятие силы трения скольжения.