1.1 sin 18° + sin 20°. 2.1 sin 80° sin 10°. 3.1 cos 8° + cos 4°. 4.1 cos 40°- cos 20°. 5.2 sin-sin. 6.2 cos 5x + cos 3. 7.2 sin (+a) + sina. 8.2 cos (+)-cos. 9.2 cos 10+ sin 10 10. 2 sin 20°- cos 40°. Упростить выражение (11-12). 11.2sin(+)-sin(-a). 12. cos(-a)+ sin(+a). Преобразовать в произведение (13-22). cos 20° sin 20° 13.3 sin 65°+ cos 65° 14.5 sin 10°+ 2 sin 5° cos 15° + cos 50°. 15. 2 cos x + cos 30. 17.51-√2 cosa. 19.41+2 cosa + cos 2a. 16. 2 sina + cosa. 18. 5 tga + √3. 20. 6 cos 2a - cos 3a - cos 4a + cos 50. 21.7 sin 5a + sin 6a + sin 7a + sin 8a. 22.8 sin 3a cos 4a sin a cos 2a.

Задание 1:

Преобразовать в произведение: sin 18° + sin 20°

• Используем формулу: sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2)
• sin 18° + sin 20° = 2 sin((18° + 20°)/2) cos((18° - 20°)/2) = 2 sin(19°) cos(-1°)
• Поскольку cos(-x) = cos(x), получаем: 2 sin(19°) cos(1°)

Ответ: 2 sin(19°) cos(1°)

Задание 2:

Преобразовать в произведение: sin 80° - sin 10°

• Используем формулу: sin α - sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α - β)/2)
• sin 80° - sin 10° = 2 cos((80° + 10°)/2) sin((80° - 10°)/2) = 2 cos(45°) sin(35°)

Ответ: 2 cos(45°) sin(35°)

Задание 3:

Преобразовать в произведение: cos 8° + cos 4°

• Используем формулу: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2)
• cos 8° + cos 4° = 2 cos((8° + 4°)/2) cos((8° - 4°)/2) = 2 cos(6°) cos(2°)

Ответ: 2 cos(6°) cos(2°)

Задание 4:

Преобразовать в произведение: cos 40° - cos 20°

• Используем формулу: cos α - cos β = -2 sin((α + β)/2) sin((α - β)/2)
• cos 40° - cos 20° = -2 sin((40° + 20°)/2) sin((40° - 20°)/2) = -2 sin(30°) sin(10°)

Ответ: -2 sin(30°) sin(10°)

Задание 5:

Преобразовать в произведение: sin(π/8) - sin(π/4)

• Используем формулу: sin α - sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α - β)/2)
• sin(π/8) - sin(π/4) = 2 cos((π/8 + π/4)/2) sin((π/8 - π/4)/2) = 2 cos(3π/16) sin(-π/16)
• Поскольку sin(-x) = -sin(x), получаем: -2 cos(3π/16) sin(π/16)

Ответ: -2 cos(3π/16) sin(π/16)

Задание 6:

Преобразовать в произведение: cos(5π/6) + cos(3π/4)

• Используем формулу: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2)
• cos(5π/6) + cos(3π/4) = 2 cos((5π/6 + 3π/4)/2) cos((5π/6 - 3π/4)/2) = 2 cos(19π/24) cos(π/24)

Ответ: 2 cos(19π/24) cos(π/24)

Задание 7:

Преобразовать в произведение: sin(π/3 + α) + sin α

• Используем формулу: sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2)
• sin(π/3 + α) + sin α = 2 sin((π/3 + α + α)/2) cos((π/3 + α - α)/2) = 2 sin(π/6 + α) cos(π/6)

Ответ: 2 sin(π/6 + α) cos(π/6)

Задание 8:

Преобразовать в произведение: cos(α + π/5) - cos(π/5)

• Используем формулу: cos α - cos β = -2 sin((α + β)/2) sin((α - β)/2)
• cos(α + π/5) - cos(π/5) = -2 sin((α + π/5 + π/5)/2) sin((α + π/5 - π/5)/2) = -2 sin(α/2 + π/5) sin(α/2)

Ответ: -2 sin(α/2 + π/5) sin(α/2)

Задание 9:

Преобразовать в произведение: cos(π/10) + sin(π/10)

• Заметим, что sin(π/10) = cos(π/2 - π/10) = cos(4π/10) = cos(2π/5)
• cos(π/10) + sin(π/10) = cos(π/10) + cos(2π/5)
• Используем формулу: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2)
• cos(π/10) + cos(2π/5) = 2 cos((π/10 + 2π/5)/2) cos((π/10 - 2π/5)/2) = 2 cos(π/4) cos(-3π/20)
• Поскольку cos(-x) = cos(x), получаем: 2 cos(π/4) cos(3π/20)

Ответ: 2 cos(π/4) cos(3π/20)

Задание 10:

Преобразовать в произведение: sin 20° - cos 40°

• Заметим, что cos 40° = sin(90° - 40°) = sin 50°
• sin 20° - cos 40° = sin 20° - sin 50°
• Используем формулу: sin α - sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α - β)/2)
• sin 20° - sin 50° = 2 cos((20° + 50°)/2) sin((20° - 50°)/2) = 2 cos(35°) sin(-15°)
• Поскольку sin(-x) = -sin(x), получаем: -2 cos(35°) sin(15°)

Ответ: -2 cos(35°) sin(15°)

Задание 11:

Упростить выражение: 2 sin(π/4 + α) - sin(π/4 - α)

• Используем формулу синуса суммы и разности:
• sin(π/4 + α) = sin(π/4) cos(α) + cos(π/4) sin(α)
• sin(π/4 - α) = sin(π/4) cos(α) - cos(π/4) sin(α)
• Тогда: sin(π/4 + α) - sin(π/4 - α) = 2 cos(π/4) sin(α)
• cos(π/4) = √2/2
• 2 (sin(π/4 + α) - sin(π/4 - α)) = 2 * 2 cos(π/4) sin(α) = 4 * (√2/2) sin(α) = 2√2 sin(α)

Ответ: 2√2 sin(α)

Задание 12:

Упростить выражение: cos(π/6 - α) + sin(π/6 + α)

• Используем формулы косинуса разности и синуса суммы:
• cos(π/6 - α) = cos(π/6) cos(α) + sin(π/6) sin(α)
• sin(π/6 + α) = sin(π/6) cos(α) + cos(π/6) sin(α)
• Складываем: cos(π/6 - α) + sin(π/6 + α) = (cos(π/6) + sin(π/6)) cos(α) + (sin(π/6) + cos(π/6)) sin(α)
• = (√3/2 + 1/2) cos(α) + (1/2 + √3/2) sin(α) = (√3/2 + 1/2) (cos(α) + sin(α))

Ответ: (√3/2 + 1/2) (cos(α) + sin(α))

Задание 13:

Преобразовать в произведение: (cos 20° - sin 20°) / (sin 65° + cos 65°)

• Заметим, что sin 65° = cos(90° - 65°) = cos 25°
• cos 65° = sin(90° - 65°) = sin 25°
• (cos 20° - sin 20°) / (sin 65° + cos 65°) = (cos 20° - sin 20°) / (cos 25° + sin 25°)
• Домножим числитель и знаменатель на √2/2:
• = (√2/2 cos 20° - √2/2 sin 20°) / (√2/2 cos 25° + √2/2 sin 25°)
• = (cos 45° cos 20° - sin 45° sin 20°) / (cos 45° cos 25° + sin 45° sin 25°)
• = cos(45° + 20°) / cos(45° - 25°) = cos 65° / cos 20°

Ответ: cos 65° / cos 20°

Задание 14:

sin 10° + 2 sin 5° cos 15° + cos 50°

• Используем формулу: 2 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a - b)
• 2 sin 5° cos 15° = sin(5° + 15°) + sin(5° - 15°) = sin 20° + sin(-10°) = sin 20° - sin 10°
• Тогда: sin 10° + 2 sin 5° cos 15° + cos 50° = sin 10° + sin 20° - sin 10° + cos 50° = sin 20° + cos 50°
• Заметим, что cos 50° = sin(90° - 50°) = sin 40°
• sin 20° + cos 50° = sin 20° + sin 40°
• Используем формулу: sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2)
• sin 20° + sin 40° = 2 sin((20° + 40°)/2) cos((20° - 40°)/2) = 2 sin 30° cos(-10°) = 2 sin 30° cos 10°
• Так как sin 30° = 1/2, то: 2 sin 30° cos 10° = 2 * (1/2) * cos 10° = cos 10°

Ответ: cos 10°

Задание 15:

cos α + cos 3α

• Используем формулу: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2)
• cos α + cos 3α = 2 cos((α + 3α)/2) cos((α - 3α)/2) = 2 cos(2α) cos(-α) = 2 cos(2α) cos(α)

Ответ: 2 cos(2α) cos(α)

Задание 16:

sin α + cos α

Это выражение нельзя преобразовать в произведение с использованием стандартных тригонометрических формул.

Ответ: sin α + cos α

Задание 17:

1 - √2 cos α

Это выражение нельзя преобразовать в произведение с использованием стандартных тригонометрических формул.

Ответ: 1 - √2 cos α

Задание 18:

tg α + √3

Это выражение нельзя преобразовать в произведение с использованием стандартных тригонометрических формул.

Ответ: tg α + √3

Задание 19:

1 + 2 cos α + cos 2α

• Используем формулу: cos 2α = 2 cos^2 α - 1
• 1 + 2 cos α + cos 2α = 1 + 2 cos α + 2 cos^2 α - 1 = 2 cos α + 2 cos^2 α = 2 cos α (1 + cos α)

Ответ: 2 cos α (1 + cos α)

Задание 20:

cos 2α - cos 3α - cos 4α + cos 5α

• Группируем члены: (cos 5α + cos 2α) - (cos 4α + cos 3α)
• Используем формулу: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2)
• cos 5α + cos 2α = 2 cos((5α + 2α)/2) cos((5α - 2α)/2) = 2 cos(7α/2) cos(3α/2)
• cos 4α + cos 3α = 2 cos((4α + 3α)/2) cos((4α - 3α)/2) = 2 cos(7α/2) cos(α/2)
• Тогда: 2 cos(7α/2) cos(3α/2) - 2 cos(7α/2) cos(α/2) = 2 cos(7α/2) (cos(3α/2) - cos(α/2))
• Используем формулу: cos α - cos β = -2 sin((α + β)/2) sin((α - β)/2)
• cos(3α/2) - cos(α/2) = -2 sin((3α/2 + α/2)/2) sin((3α/2 - α/2)/2) = -2 sin(α) sin(α/2)
• Тогда: 2 cos(7α/2) (-2 sin(α) sin(α/2)) = -4 cos(7α/2) sin(α) sin(α/2)

Ответ: -4 cos(7α/2) sin(α) sin(α/2)

Задание 21:

sin 5α + sin 6α + sin 7α + sin 8α

• Группируем члены: (sin 8α + sin 5α) + (sin 7α + sin 6α)
• Используем формулу: sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2)
• sin 8α + sin 5α = 2 sin((8α + 5α)/2) cos((8α - 5α)/2) = 2 sin(13α/2) cos(3α/2)
• sin 7α + sin 6α = 2 sin((7α + 6α)/2) cos((7α - 6α)/2) = 2 sin(13α/2) cos(α/2)
• Тогда: 2 sin(13α/2) cos(3α/2) + 2 sin(13α/2) cos(α/2) = 2 sin(13α/2) (cos(3α/2) + cos(α/2))
• Используем формулу: cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2)
• cos(3α/2) + cos(α/2) = 2 cos((3α/2 + α/2)/2) cos((3α/2 - α/2)/2) = 2 cos(α) cos(α/2)
• Тогда: 2 sin(13α/2) * 2 cos(α) cos(α/2) = 4 sin(13α/2) cos(α) cos(α/2)

Ответ: 4 sin(13α/2) cos(α) cos(α/2)

Задание 22:

sin 3α cos 4α - sin α cos 2α

Это выражение нельзя преобразовать в произведение с использованием стандартных тригонометрических формул.

Ответ: sin 3α cos 4α - sin α cos 2α