2) sin⁶x+cos⁶ = 1/4

Ответ: sin⁶x+cos⁶x=1/4

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем выражение, используя формулу суммы кубов:

\[\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3\] \[(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)\]

• Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\[\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x\]

• Шаг 3: Преобразуем выражение, добавив и вычтя \(3\sin^2 x \cos^2 x\) и сгруппировав слагаемые:

\[(\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) - 3\sin^2 x \cos^2 x\] \[(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x\]

• Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) еще раз:

\[1 - 3\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\]

• Шаг 5: Решаем уравнение относительно \(\sin^2 x \cos^2 x\):

\[3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{4}\] \[3\sin^2 x \cos^2 x = \frac{3}{4}\] \[\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\]

• Шаг 6: Выражаем произведение синуса и косинуса через двойной угол:

\[\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} (4\sin^2 x \cos^2 x)\] \[\frac{1}{4} (2 \sin x \cos x)^2\] \[\frac{1}{4} (\sin 2x)^2 = \frac{1}{4}\]

• Шаг 7: Находим \(\sin^2 2x\):

\[\sin^2 2x = 1\]

• Шаг 8: Находим \(\sin 2x\):

\[\sin 2x = \pm 1\]

• Шаг 9: Решаем тригонометрическое уравнение \(\sin 2x = 1\):

\[2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

• Шаг 10: Решаем тригонометрическое уравнение \(\sin 2x = -1\):

\[2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

• Шаг 11: Объединяем оба решения в одно:

\[x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: sin⁶x+cos⁶x=1/4