sin² ⅔ x = ¾

Шаг 1: Избавляемся от квадрата, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[\sin^2 \frac{2}{3}x = \frac{3}{4}\]

\[\sin \frac{2}{3}x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}\]

\[\sin \frac{2}{3}x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Шаг 2: Решаем уравнение для каждого случая:

Случай 1: \[\sin \frac{2}{3}x = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\frac{2}{3}x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] или \[\frac{2}{3}x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Случай 2: \[\sin \frac{2}{3}x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\frac{2}{3}x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] или \[\frac{2}{3}x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Шаг 3: Находим x, умножая все части уравнений на 3/2:

\[x = \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{3}{2} \cdot 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] или \[x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} + \frac{3}{2} \cdot 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

\[x = -\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{3}{2} \cdot 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] или \[x = -\frac{3}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} + \frac{3}{2} \cdot 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Шаг 4: Упрощаем выражения:

\[x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] или \[x = \pi + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

\[x = -\frac{\pi}{2} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] или \[x = -\pi + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Шаг 5: Замечаем, что все решения можно объединить в одну формулу:

\[x = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] или \[x = \pm \pi + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Шаг 6: Запишем общее решение:

\[x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]