sin^4 x + cos^4 x = sin x cos x Α) \frac{π}{4} + πκ Β) \frac{π}{6} + πκ C) = \frac{π}{2} + πκ D) \frac{π}{12} + πκ

Ответ: A) \(\frac{\pi}{4} + \pi k\)

1. Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество:

\[sin^4 x + cos^4 x = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2 sin^2 x cos^2 x = 1 - 2 sin^2 x cos^2 x\]

2. Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

\[1 - 2 sin^2 x cos^2 x = sin x cos x\]

3. Введем новую переменную:

Пусть \[t = sin x cos x\]. Тогда уравнение примет вид:

\[1 - 2t^2 = t\]

4. Решим квадратное уравнение:

\[2t^2 + t - 1 = 0\]

Дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\]

Корни: \[t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}\]

\[t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1\]

5. Вернемся к исходной переменной:

а) \[sin x cos x = \frac{1}{2}\]

\[2 sin x cos x = 1\]

\[sin 2x = 1\]

\[2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

\[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

б) \[sin x cos x = -1\]

\[2 sin x cos x = -2\]

\[sin 2x = -2\]

Это уравнение не имеет решений, так как \[-1 \le sin 2x \le 1\]

6. Запишем окончательное решение:

\[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: A) \(\frac{\pi}{4} + \pi k\)