Simplify the following expressions: a) \(\frac{4}{5\sqrt{6}}\) b) \(\frac{2}{5-2\sqrt{6}}\)

Пояснение:

Для упрощения этих выражений мы будем использовать метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (для второго случая) и на корень из знаменателя (для первого случая), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Пошаговое решение:

Задание а)

1. Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\) для рационализации знаменателя.
   \( \frac{4}{5\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \)
2. Шаг 2: Выполняем умножение.
   \( \frac{4\sqrt{6}}{5 \cdot 6} \)
3. Шаг 3: Упрощаем знаменатель.
   \( \frac{4\sqrt{6}}{30} \)
4. Шаг 4: Сокращаем дробь.
   \( \frac{2\sqrt{6}}{15} \)

Задание б)

1. Шаг 1: Для рационализации знаменателя \( 5-2\sqrt{6} \), умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 5+2\sqrt{6} \).
   \( \frac{2}{5-2\sqrt{6}} \cdot \frac{5+2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}} \)
2. Шаг 2: Умножаем числитель:
   \( 2 \cdot (5+2\sqrt{6}) = 10 + 4\sqrt{6} \)
3. Шаг 3: Умножаем знаменатель, используя разность квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).
   \( (5)^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1 \)
4. Шаг 4: Записываем упрощенное выражение.
   \( \frac{10 + 4\sqrt{6}}{1} \)
5. Шаг 5: Окончательный результат.
   \( 10 + 4\sqrt{6} \)

Ответ: а) \( \frac{2\sqrt{6}}{15} \) б) \( 10 + 4\sqrt{6} \)