Simplify the following expression: \( \left( \frac{x}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \right) : \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} \)

Решение:

1. Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю \( x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y \).
2. \( \frac{x}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y} - \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}})}{ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) (x^{\frac{1}{2}}) } \)
3. \( \text{Общий знаменатель для первого члена:} y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) \).
4. \( \frac{x}{y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} - \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} = \frac{x - x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} \)
5. \( \text{Разделим на вторую дробь (умножим на обратную):} \frac{x - x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} \)
6. \( \text{Сократим } y^{\frac{1}{2}} \text{ и заметим, что } x - x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) \)
7. \( \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} \)
8. \( \text{Сократим } (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) \)
9. \( \text{Получаем:} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \)