Simplify the following expression: \(\frac{65^2 + 39^2 - 52^2 - 26^2}{49^2 - 2 \cdot 49 \cdot 36 + 36^2}\)

Решение:

Для начала упростим числитель дроби:

\( 65^2 + 39^2 - 52^2 - 26^2 \)

Можно заметить, что \( 65 = 26+39 \) и \( 52 = 2 \cdot 26 \). Используем формулы разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) и полный квадрат \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Перегруппируем члены числителя:

\( (65^2 - 26^2) + (39^2 - 52^2) \)

\( = (65 - 26)(65 + 26) + (39 - 52)(39 + 52) \)

\( = (39)(91) + (-13)(91) \)

\( = 91 (39 - 13) \)

\( = 91 (26) \)

\( = 2366 \)

Теперь упростим знаменатель дроби:

\( 49^2 - 2 \cdot 49 \cdot 36 + 36^2 \)

Это полный квадрат разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), где \( a = 49 \) и \( b = 36 \).

\( = (49 - 36)^2 \)

\( = 13^2 \)

\( = 169 \)

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

\( \frac{2366}{169} \)

Выполним деление:

\( 2366 \div 169 \)

\( 169 \times 10 = 1690 \)

\( 2366 - 1690 = 676 \)

\( 169 \times 4 = 676 \)

\( 10 + 4 = 14 \)

\( \frac{2366}{169} = 14 \)

Ответ: 14.