Simplify the following expression: $$ \frac{4n^2 - 9m^2}{9m^2 + 4n^2 + 12mn} $$

Решение:

Данное выражение представляет собой дробь, где числитель является разностью квадратов, а знаменатель - полным квадратом суммы. Воспользуемся соответствующими формулами:

Числитель: \( 4n^2 - 9m^2 = (2n)^2 - (3m)^2 = (2n - 3m)(2n + 3m) \) (разность квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)).

Знаменатель: \( 9m^2 + 4n^2 + 12mn \). Переставим слагаемые для удобства: \( 4n^2 + 12mn + 9m^2 \). Это полный квадрат суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), где \( a = 2n \) и \( b = 3m \). Проверим: \( (2n + 3m)^2 = (2n)^2 + 2(2n)(3m) + (3m)^2 = 4n^2 + 12mn + 9m^2 \). Таким образом, знаменатель равен \( (2n + 3m)^2 \).

Теперь подставим упрощенные выражения в дробь:

\[ \frac{(2n - 3m)(2n + 3m)}{(2n + 3m)^2} \]

Сократим одну скобку \( (2n + 3m) \) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{2n - 3m}{2n + 3m} \]

Ответ: \( \frac{2n - 3m}{2n + 3m} \).