Simplify the following expression: \(\frac{(2^2)^5 \cdot 2^6}{(2^8)^4}\).

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), а также \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Раскроем скобки в числителе: \( (2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10} \).
2. Упростим числитель: \( 2^{10} \cdot 2^6 = 2^{10+6} = 2^{16} \).
3. Раскроем скобки в знаменателе: \( (2^8)^4 = 2^{8 \cdot 4} = 2^{32} \).
4. Разделим числитель на знаменатель: \( \frac{2^{16}}{2^{32}} = 2^{16-32} = 2^{-16} \).
5. Можно также представить ответ в виде \( \frac{1}{2^{16}} \).

Ответ: \( 2^{-16} \) или \( \frac{1}{2^{16}} \).