Simplify the following algebraic expression: $$ \left( \frac{a}{a^2 - 25} - \frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25} \right) : \frac{a - 20}{(a - 5)^2} = \frac{a + 5}{2} $$

Решение:

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

   Общий знаменатель для $$ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) $$ и $$ a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2 $$ будет $$ (a - 5)^2(a + 5) $$.

   $$ \frac{a}{a^2 - 25} = \frac{a}{(a - 5)(a + 5)} = \frac{a(a - 5)}{(a - 5)^2(a + 5)} $$
   $$ \frac{a - 8}{a^2 - 10a + 25} = \frac{a - 8}{(a - 5)^2} = \frac{(a - 8)(a + 5)}{(a - 5)^2(a + 5)} $$
2. Выполним вычитание дробей в скобках: $$ \frac{a(a - 5) - (a - 8)(a + 5)}{(a - 5)^2(a + 5)} = \frac{a^2 - 5a - (a^2 + 5a - 8a - 40)}{(a - 5)^2(a + 5)} = \frac{a^2 - 5a - a^2 - 5a + 8a + 40}{(a - 5)^2(a + 5)} = \frac{-2a + 40}{(a - 5)^2(a + 5)} $$
3. Разделим результат на вторую дробь: $$ \frac{-2a + 40}{(a - 5)^2(a + 5)} : \frac{a - 20}{(a - 5)^2} = \frac{-2(a - 20)}{(a - 5)^2(a + 5)} \times \frac{(a - 5)^2}{a - 20} $$
4. Сократим дробь: $$ \frac{-2}{a + 5} $$

Сравним полученное выражение с правой частью исходного уравнения:

$$ \frac{-2}{a + 5} = \frac{a + 5}{2} $$

Решим полученное уравнение:

$$ -2 imes 2 = (a + 5)(a + 5) $$
$$ -4 = (a + 5)^2 $$
$$ (a + 5)^2 = -4 $$

Уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: Нет действительных решений.