Simplify the expression: y = (x^2 - 4)(x^2 - 4x + 3) / (x^2 - 3x + 2)

Решение:

Для упрощения выражения разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель:
   • Первая скобка: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \) (разность квадратов).
   • Вторая скобка: \( x^2 - 4x + 3 \). Найдем корни уравнения \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \). Корни: \( x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \). Значит, \( x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \).
   • Таким образом, числитель: \( (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x - 3) \).
2. Разложим знаменатель:
   • \( x^2 - 3x + 2 \). Найдем корни уравнения \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \). Корни: \( x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \). Значит, \( x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \).
3. Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
   • \( y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 2)} \)
   • Сократим общие множители \( (x - 1) \) и \( (x - 2) \) (при условии, что \( x \neq 1 \) и \( x \neq 2 \)).
   • \( y = (x + 2)(x - 3) \)
   • Раскроем скобки: \( y = x^2 - 3x + 2x - 6 \)
   • \( y = x^2 - x - 6 \)

Ответ: y = x² - x - 6 (при \( x \neq 1 \) и \( x \neq 2 \)).