Simplify the expression: (y^2/x - x^2/y) / (x/1 - y/1).

Решение:

Сначала упростим числитель дроби:

\[ \frac{y^2}{x} - \frac{x^2}{y} = \frac{y^3 - x^3}{xy} \]

Теперь упростим знаменатель дроби:

\[ \frac{x}{1} - \frac{y}{1} = x - y \]

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь:

\[ \frac{\frac{y^3 - x^3}{xy}}{x - y} \]

Раскроем скобки в знаменателе:

\[ \frac{y^3 - x^3}{xy(x - y)} \]

Применим формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) к числителю:

\[ \frac{(y - x)(y^2 + xy + x^2)}{xy(x - y)} \]

Заметим, что \( y - x = -(x - y) \). Подставим это:

\[ \frac{-(x - y)(y^2 + xy + x^2)}{xy(x - y)} \]

Сократим \( (x - y) \):

\[ -\frac{y^2 + xy + x^2}{xy} \]

Разделим каждый член числителя на \( xy \):

\[ -\left( \frac{y^2}{xy} + \frac{xy}{xy} + \frac{x^2}{xy} \right) \]

Упростим:

\[ -\left( \frac{y}{x} + 1 + \frac{x}{y} \right) \]

Или:

\[ -\frac{y}{x} - 1 - \frac{x}{y} \]

Ответ: \( -\frac{y}{x} - 1 - \frac{x}{y} \)