Simplify the expression: (x - 4xy/(x+y) + y) : (x/(x+y) - y/(y-x) - 2xy/(x^2-y^2))

Решение:

Для упрощения данного выражения, сначала преобразуем каждое из слагаемых в скобках.

Первая скобка:

• Приведем к общему знаменателю `(x+y)`:
• \[ x - \frac{4xy}{x+y} + y = \frac{x(x+y)}{x+y} - \frac{4xy}{x+y} + \frac{y(x+y)}{x+y} \]
• \[ = \frac{x^2 + xy - 4xy + xy + y^2}{x+y} \]
• \[ = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x+y} = \frac{(x-y)^2}{x+y} \]

Вторая скобка:

• Разложим знаменатель `x^2 - y^2` как разность квадратов: `(x-y)(x+y)`.
• Приведем все дроби к общему знаменателю `(x+y)(y-x) = -(x+y)(x-y) = -(x^2-y^2)`.
• \[ \frac{x}{x+y} - \frac{y}{y-x} - \frac{2xy}{x^2-y^2} = \frac{x}{x+y} + \frac{y}{x-y} - \frac{2xy}{(x-y)(x+y)} \]
• \[ = \frac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{y(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{2xy}{(x-y)(x+y)} \]
• \[ = \frac{x^2 - xy + xy + y^2 - 2xy}{(x-y)(x+y)} \]
• \[ = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y}{x+y} \]

Деление:

• Теперь разделим результат первой скобки на результат второй скобки:
• \[ \frac{(x-y)^2}{x+y} : \frac{x-y}{x+y} \]
• \[ = \frac{(x-y)^2}{x+y} \cdot \frac{x+y}{x-y} \]
• \[ = \frac{(x-y)^2}{x-y} \]
• \[ = x-y \]

Ответ: x-y