Simplify the expression: \( \frac{(-5)^5 \cdot (-5)^{14}}{(5^3)^6} \)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:

1. Произведение степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
2. Степень произведения: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
3. Деление степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Сначала упростим числитель:

\[ (-5)^5 \cdot (-5)^{14} = (-5)^{5+14} = (-5)^{19} \]

Теперь упростим знаменатель:

\[ (5^3)^6 = 5^{3 \cdot 6} = 5^{18} \]

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

\[ \frac{(-5)^{19}}{5^{18}} \]

Так как \( (-5)^{19} = -(5^{19}) \) (степень нечётная, поэтому знак минус сохраняется), то:

\[ \frac{-(5^{19})}{5^{18}} = -(5^{19-18}) = -(5^1) = -5 \]

Ответ: -5.