Simplify the expression: \(\frac{(3^4)^3 \cdot 3^4}{3^5 \cdot 3^{10}}\)

Решение:

1. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) к числителю: \( (3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12} \).
2. Упростим числитель, используя свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 3^{12} \cdot 3^4 = 3^{12+4} = 3^{16} \).
3. Упростим знаменатель, используя свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 3^5 \cdot 3^{10} = 3^{5+10} = 3^{15} \).
4. Теперь исходное выражение выглядит так: \( \frac{3^{16}}{3^{15}} \).
5. Применим свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( \frac{3^{16}}{3^{15}} = 3^{16-15} = 3^1 = 3 \).

Ответ: 3.