Simplify the expression: (2-3i)(2+3i) / (1+i)

Решение:

Для упрощения выражения сначала перемножим комплексные числа в числителе. Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

\[ (2-3i)(2+3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - 9i^2 \]

Так как \( i^2 = -1 \), то:

\[ 4 - 9(-1) = 4 + 9 = 13 \]

Теперь выражение имеет вид:

\[ \frac{13}{1+i} \]

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное число к знаменателю, то есть \( 1-i \).

\[ \frac{13}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i} = \frac{13(1-i)}{(1+i)(1-i)} \]

Раскроем скобки в знаменателе:

\[ (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \]

Теперь подставим это значение обратно в дробь:

\[ \frac{13(1-i)}{2} = \frac{13 - 13i}{2} \]

Разделим действительную и мнимую части:

\[ \frac{13}{2} - \frac{13}{2}i \]

Ответ: \( \frac{13}{2} - \frac{13}{2}i \).