Simplifique a expressão: \(\frac{48}{(2-\sqrt{6})^2}\)

Solução:

Para simplificar a expressão \(\frac{48}{(2-\sqrt{6})^2}\), vamos primeiro expandir o denominador.

1. Expanda o quadrado no denominador: \( (2-\sqrt{6})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)
2. Calcule os termos: \( = 4 - 4\sqrt{6} + 6 \)
3. Combine os termos constantes: \( = 10 - 4\sqrt{6} \)
4. Agora a expressão é: \( \frac{48}{10 - 4\sqrt{6}} \)
5. Para racionalizar o denominador, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é \( 10 + 4\sqrt{6} \):
6. \( \frac{48}{10 - 4\sqrt{6}} \times \frac{10 + 4\sqrt{6}}{10 + 4\sqrt{6}} = \frac{48(10 + 4\sqrt{6})}{(10)^2 - (4\sqrt{6})^2} \)
7. Calcule o numerador: \( 48 \cdot 10 + 48 \cdot 4\sqrt{6} = 480 + 192\sqrt{6} \)
8. Calcule o denominador: \( 100 - (16 \cdot 6) = 100 - 96 = 4 \)
9. Agora a expressão é: \( \frac{480 + 192\sqrt{6}}{4} \)
10. Divida cada termo do numerador por 4:
11. \( \frac{480}{4} + \frac{192\sqrt{6}}{4} = 120 + 48\sqrt{6} \)

Resposta: \( 120 + 48\sqrt{6} \)