Школьник захотел увеличить мощность нагревателя в 2 раза. Для этого он подсоединил параллельно к проволоке нагревателя резистор. 1) В немодифицированном нагревателе при подключении в сеть с номинальным напряжением выделяется мощность 5 Вт. Какой будет мощность, выделяющаяся в резисторе, если подсоединить модифицированный нагревательный элемент в сеть с тем же напряжением? 2) Резистор какого сопротивления необходимо подключить к проволоке, чтобы осуществить задуманное, если проволока имеет сопротивление Rпр = 2 Ом точно? 3) Резисторы на заводе изготавливают с точностью ±5%, то есть сопротивление резистора может отличаться от номинального на 5%. В каком диапазоне может лежать величина мощности, выделяющейся в модифицированном нагревателе, если подключить его в сеть с напряжением в 2 раза меньшим номинального? Напишите полное решение этой задачи.

Решение:

1) Для того чтобы мощность нагревателя увеличилась в 2 раза при подключении параллельно резистора, мощность резистора должна быть равна мощности нагревателя. Следовательно, мощность, выделяющаяся в резисторе, будет равна 5 Вт.

2) Мощность, выделяемая на резисторе, определяется формулой:

$$P = \frac{U^2}{R}$$

где ( P ) - мощность, ( U ) - напряжение, ( R ) - сопротивление.

Чтобы мощность увеличилась в 2 раза, общее сопротивление цепи должно уменьшиться в 2 раза. При параллельном соединении сопротивление цепи можно рассчитать по формуле:

$$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$$

где ( R_{общ} ) - общее сопротивление, ( R_{1} ) - сопротивление проволоки (2 Ом), ( R_{2} ) - сопротивление резистора.

Поскольку мощность увеличивается в 2 раза, сопротивление должно уменьшиться в 2 раза. Следовательно, ( R_{общ} = 1 ) Ом.

Тогда:

$$\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{R_{2}}$$

$$\frac{1}{R_{2}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$R_{2} = 2 \text{ Ом}$$

Таким образом, сопротивление резистора должно быть 2 Ом.

3) Если напряжение уменьшается в 2 раза, то новая мощность будет определяться как:

$$P = \frac{(\frac{U}{2})^2}{R_{общ}}$$

Новое общее сопротивление:

$$R_{общ} = \frac{R_{пр} \cdot R}{R_{пр} + R}$$

Номинальное сопротивление резистора 2 Ом, но оно может отличаться на ±5%.

Максимальное сопротивление резистора: ( 2 + 2 \cdot 0.05 = 2.1 ) Ом.

Минимальное сопротивление резистора: ( 2 - 2 \cdot 0.05 = 1.9 ) Ом.

Рассчитаем мощность для минимального и максимального сопротивлений:

Номинальное напряжение ( U ). Уменьшенное в два раза напряжение: ( U/2 ).

Рассчитаем мощность для максимального сопротивления (2.1 Ом):

$$R_{общ_{min}} = \frac{2 \cdot 1.9}{2 + 1.9} = \frac{3.8}{3.9} \approx 0.974 \text{ Ом}$$

$$P_{max} = \frac{(\frac{U}{2})^2}{0.974} = \frac{U^2}{4 \cdot 0.974} \approx 0.257 \cdot U^2$$

Рассчитаем мощность для минимального сопротивления (1.9 Ом):

$$R_{общ_{max}} = \frac{2 \cdot 2.1}{2 + 2.1} = \frac{4.2}{4.1} \approx 1.024 \text{ Ом}$$

$$P_{min} = \frac{(\frac{U}{2})^2}{1.024} = \frac{U^2}{4 \cdot 1.024} \approx 0.244 \cdot U^2$$

Из условия ( P = \frac{U^2}{R} ), и ( P = 5 ) Вт для немодифицированного нагревателя, где ( R = 2 ) Ом, можно найти ( U^2 ):

$$5 = \frac{U^2}{2} \Rightarrow U^2 = 10$$

Тогда:

$$P_{max} = 0.257 \cdot 10 = 2.57 \text{ Вт}$$

$$P_{min} = 0.244 \cdot 10 = 2.44 \text{ Вт}$$

Ответ:

1) Мощность, выделяющаяся в резисторе: 5 Вт.

2) Сопротивление резистора: 2 Ом.

3) Диапазон мощности: от 2.44 Вт до 2.57 Вт.