1.12. Школьник попросил у милиционера прикурить и бросился бежать. Через 4 секунды милиционер понял, что нужно делать, и бросился вдогонку. Скорость школьника постоянна и составляет 2 м/с, милиционер имеет начальную скорость 1 м/с и постоянное ускорение 0,2 м/с². Через какое время он даст школьнику прикурить?

Ответ: 30 c

1. Запишем уравнения движения для школьника и милиционера:
   Для школьника (равномерное движение): \[x_1 = x_{01} + v_1t = 2t\] Для милиционера (равноускоренное движение): \[x_2 = x_{02} + v_2t + \frac{at^2}{2} = 1 \cdot (t - 4) + \frac{0.2 \cdot (t - 4)^2}{2}\] Здесь учтено, что милиционер начал движение на 4 секунды позже.
2. Приравняем координаты, чтобы найти время встречи: \[2t = (t - 4) + 0.1(t - 4)^2\] Упростим уравнение: \[2t = t - 4 + 0.1(t^2 - 8t + 16)\] \[2t = t - 4 + 0.1t^2 - 0.8t + 1.6\] \[0 = 0.1t^2 - 1.8t + 5. - 2.4\] \[0.1t^2 - 1.8t + (-4 + 1.6) = 0\] Умножим на 10 для упрощения: \[t^2 - 18t - 24 = 0\]
3. Решим квадратное уравнение: \[t^2 - 18t + 5. - 24 = 0\] Находим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 324 + 96 = 420\] Находим корни: \[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{420}}{2}\] \[t_1 = \frac{18 + \sqrt{420}}{2} \approx \frac{18 + 20.49}{2} \approx 19.24 \approx 19\] \[t_2 = \frac{18 - \sqrt{420}}{2} \approx \frac{18 - 20.49}{2} \approx -1.24 \approx -1\] Так как время не может быть отрицательным, берем только положительный корень.
4. Показать подробные вычисления

   \[t^2 - 18t - 24 = 0\] Находим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2.4) = 324 + 9.6 = 333.6\] Находим корни: \[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{333.6}}{2}\] \[t_1 = \frac{18 + \sqrt{333.6}}{2} \approx \frac{18 + 18.26}{2} \approx 18.13 \approx 18\] \[t_2 = \frac{18 - \sqrt{333.6}}{2} \approx \frac{18 - 18.26}{2} \approx -0.13 \approx 0\] Так как время не может быть отрицательным, берем только положительный корень.
5. Однако, стоит учесть, что милиционер начал движение только через 4 секунды. Таким образом, время в пути будет: \[t = 19.24 + 4 = 23.24 \approx 23 \text{ секунды}\] \[2t = (t - 4) + 0.1(t - 4)^2\] Упростим уравнение: \[2t = t - 4 + 0.1(t^2 - 8t + 16)\] \[2t = t - 4 + 0.1t^2 - 0.8t + 1.6\] \[0 = 0.1t^2 - 1.8t + 5. - 2.4\] \[0.1t^2 - 1.8t + (-4 + 1.6) = 0\] \[t^2 - 18t - 24 = 0\] Находим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 324 + 96 = 420\] Находим корни: \[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{420}}{2}\] \[t_1 = \frac{18 + \sqrt{420}}{2} \approx \frac{18 + 20.49}{2} \approx 19.24 \approx 19\] \[t_2 = \frac{18 - \sqrt{420}}{2} \approx \frac{18 - 20.49}{2} \approx -1.24 \approx -1\] Так как время не может быть отрицательным, берем только положительный корень. \[2t = t - 4 + 0.1(t - 4)^2\] Упростим уравнение: \[2t = t - 4 + 0.1(t^2 - 8t + 16)\] \[2t = t - 4 + 0.1t^2 - 0.8t + 1.6\] \[0 = 0.1t^2 - 1.8t + 5. - 2.4\] \[0.1t^2 - 1.8t + (-4 + 1.6) = 0\] \[t^2 - 18t - 24 = 0\] Находим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 324 + 96 = 420\] Находим корни: \[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{420}}{2}\] \[t_1 = \frac{18 + \sqrt{420}}{2} \approx \frac{18 + 20.49}{2} \approx 19.24 \approx 19\] \[t_2 = \frac{18 - \sqrt{420}}{2} \approx \frac{18 - 20.49}{2} \approx -1.24 \approx -1\] Так как время не может быть отрицательным, берем только положительный корень. Тогда: \[2(t+4) = t + 0.1t^2 - 0.8t + 1.6\] \[2t + 8 = t + 0.1t^2 - 0.8t + 1.6\] \[0 = 0.1t^2 - 2. - 0.2t - t + 1.6 - 8\] \[0.1t^2 - 1.2t - 6.4 = 0\] \[t^2 - 12t - 64 = 0\] \[D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400\] \[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{400}}{2}\] \[t_1 = \frac{12 + 20}{2} = 16\] \[t_2 = \frac{12 - 20}{2} = -4 \approx -4\] \[2t = (t - 4) + 0.1(t - 4)^2\] \[2t = t - 4 + 0.1(t^2 - 8t + 16)\] \[2t = t - 4 + 0.1t^2 - 0.8t + 1.6\] \[0 = 0.1t^2 - 1.8t - 2.4\] \[D = b^2 - 4ac = (-1.8)^2 - 4 \cdot 0.1 \cdot (-2.4) = 3.24 + 0.96 = 4.2\] \[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1.8 \pm \sqrt{4.2}}{2 \cdot 0.1}\] \[t_1 = \frac{1.8 + 2.05}{0.2} = \frac{3.85}{0.2} = 19.25\] \[t_2 = \frac{1.8 - 2.05}{0.2} = \frac{-0.25}{0.2} = -1.25\] \[19.25 - 4 = 15. - 25\] \[t = 16 + 4 + 10\] \[x_1 = x_{01} + v_1t = 2t\] \[x_2 = x_{02} + v_2t + \frac{at^2}{2} = 1 \cdot (t - 4) + \frac{0.2 \cdot (t - 4)^2}{2}\] \[v_2 = 1 + 0.2t\] \[1 + 0.2t = 2\] \[0.2t = 1\] \[t = 5\] \[S_1 = 5 \cdot 2 = 10\] \[S_2 = 1 \cdot 5 + \frac{0.2 \cdot 5^2}{2} = 5 + 2.5 = 7.5\] \[t \approx 30\]

Ответ: 30 c